演化方程的有限元分析.doc

演化方程的有限元剖析 演化方程的有限元剖析 PAGE/NUMPAGES 演化方程的有限元剖析 第二章发展方程的有限元剖析 W.B.J.ZIMMERMAN，B.N.HEWAKANDAMBY DepartmentofChemicalandProcessEngineering,UniversityofSheffield, NewcastleStreet,SheffieldS13JDUnitedKingdom E-mail:w.zimmerman@shef.ac.uk 科学研究和工程应用中的偏微分方程（PDE）多源自复杂的均衡方程。常有的偏微分方程主要来自质量守恒、动量守恒、组分守恒和能量守恒定律。因为这些守恒定律是整个域上的积分方程，所以在连续性假定下，偏微分方程很简单用有限元方法近似描绘。本章介绍了COMSOLMultiphysics中典型的三种不一样种类“时间－空间”系统偏微分方程——椭圆方程，抛物线方程和双曲线方程。本章还对有限元方法进行了整体介绍，联合应用实例解说有限元方法精准计算的特 性，更深层次的内容将在后续章节中引出。 简介 在科学研究和工程应用中常会碰到知足守恒定律拘束的偏微分方程，往常以积分形式出现。全部由质量守恒、动量守恒、组分守恒和能量守恒控制的传达现象都会产生连续迫近的偏微分方程。相信化工人员对传热、传质和动量传达现象不会感觉陌生。 与前一章COMSOLMultiphysics化工实例中介绍的零维、一维空间系统相 比，化工课程中往常不会出现超出二维或三维的偏微分方程计算。从文件[1]中找到一个特别宝贵的例子。实质上，好多常有的化工模型和公式都是由实质过程中更高维数的动力学过程简化而来的。流体动力学中的阻力系数，传热传质系数，多相催化的Thiele模型，精馏塔设计中的McCabe-Thiele图等很多描绘高维数系统传达现象或非稳态动力学过程的技术，都是半经验性的方法，或许能够用偏微分方程来描绘这些过程，可是因为基本物理、化学现象的复杂性，这些方程往常很难求解。所以对于初步的设计计算，这些迅速计算的简化方法很受欢迎，可是对于细节设计、设计翻新、过程剖析和优化过程，只有简化方法是不够的。在基 础科学研究过程中，这些方法仍旧不停地从化学工程师传给生物学家、资料学家等，渐渐应用到各个领域的工作中。可是计算流体动力学（CFD）的出现完全改变了这些方法在传导模型中的地位。固然CFD在传导现象可视化和量化方面拥有独到优势，可是唯象方法对于描绘散布系统模型仍旧有特别重要的作用。 COMSOLMultiphysics不是一个“商业CFD软件”，可是也能够做一些CFD计算。它包含一些通用的CFD软件包，在某些模型支持上拥有其独到的长处。 对于CFD方法，大部分过程工程师希望有对湍流和焚烧模型的支持。可是COMSOLMultiphysics不一样，善于多物理场计算。除了CFD的传统传达现象，COMSOLMultiphysics还包含了电动力学、磁动力学、结构力学等实例模式，能够对这些现象进行模拟计算。实质上COMSOLMultiphysics的最大长处在于——第一，用户自定义编程简单，能够轻易成立用户自定义的模型，经过改变变量系数、界限条件、初始条件，还能够同时耦合多个物理场（甚至不在同一个域上的物理场）；其次，鉴于MATLAB（或COMSOLScript），能够实现对复杂模型模拟的全部编程功能，能够把COMSOLMultiphysics看作是一个方便的高阶有限元编程和剖析软件。上一章中，我们介绍了一些用户自定义编程剖析的功能，本章将介绍COMSOLMultiphysics在更高维数偏微分方程系统有限元建模上的核心 优势。多物理场、扩展多物理场和无PDE拘束的办理将留给后续章节。 2．偏微分方程 偏微分方程能够依据阶数、界限条件种类和线性度（线性、非线性和准线性）进行分类。令人吃惊的是，大部分科学研究和工程应用中碰到的偏微分方程都是二阶的，即最高导数项是二阶偏导数。这是有时的么？这一偶合常常是在各自领域分别解说的。可是，近来Frieden[2]证明全部已知物理定律都能够由最小Fisher信息原理推导出，而该原律往常将一个二阶项作为最高项引入相应的物理定律中——包含从Schrodinger波函数方程到经典电动力学等各样物理定律。所以二维和三维的二阶“空间－时间”系统求解和分类在科学研究和工程中有着宽泛的应用，这特别重要！出于这个原由，且有限元方法实质上特别合适办理二阶系统， 所以有限元是有着宽泛应用的技术。 本章我们将集中介绍二维和三维空间的二阶系统。这里有三个典型的例子，在课本中常常有到，它们是： 2u 2u 0 Laplace方程(椭圆): y2 x2 u 2u 扩散方程(抛物线): x2 t 2u 2u 波方程(双曲线): x2