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一、连续函数的运算性质
1. 四则运算的连续性
定理1 若函数f (x), g (x ) 在点x0 处连续,
则f (x ) –g (x), f (x) g (x), f (x) (g (x ) „0)
0
g (x)
在点x 处也连续。
0
例如, sin x ,cos x在(-¥,+¥)内连续,
故tan x ,cot x ,sec x ,csc x 在其定义域内连续。
2. 反函数与复合函数的连续性
定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的
连续反函数。
p p
例如, y =sin x在[- , ]上单调增加且连续,
2 2
故y = arcsin x在[-1,1]上也是单调增加且连续 ；
同理y =arccos x 在[-1,1]上单调减少且连续；
y =arctan x在(-¥,+¥)上单调增加且连续 。
反三角函数在其定义域内皆连续。
定理3 若limj (x ) =a, 函数f (u)在点a连续,
xfix0
则有lim f [j(x)] = f (a) = f [limj (x)]
xfix0 xfix0
证： f (u)在点u =a连续,
" e >0, $h >0, 使当 u -a <h 时,
恒有 f (u) -f (a) < e 成立
又lim j (x ) =a
xfi x0
对于h >0, $d >0, 使当0 < x -x0 < d时,
恒有j(x ) -a = u -a <h 成立
将上两步合起来:
" e >0, $d >0, 使当0 < x -x0 < d时,
f (u) -f (a) = f [j(x)] -f (a) < e成立
\ lim f [j(x)] = f (a) = f [lim j(x)]
xfi x0 xfi x0
意义 1) 极限符号可以与函数符号互换；
2)变量代换 (u =j (x ))的理论依据 。
例1 求 lim ln(1 +x)
xfi0 x
1
解：原式 = limln(1 +x ) x
xfi0
1
=ln[lim(1 +x )x ]
xfi0
= ln e = 1
ex -1
例2 求 lim
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