2017年深圳市公务员考试数学运算之牛吃草问题.docx

2017 年深圳市公务员考试数学运算 之牛吃草问题 牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。 由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。这类问题常用到四个基本公式，分别是： 草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）； 原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数； 吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）； 牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。 这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为1，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量， 再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。 核心公式： 草场草量＝（牛数－每天长草量）×天数 基本不变量：单位面积牧场上原有草量不变， 一般用来列方程每头牛每天吃草量不变， 一般设为“1” 单位面积牧场上每天新增草量不变，一般设为“x” 【例 1】一片牧草，可供 16 头牛吃 20 天，也可以供 20 头牛吃 12 天，那么 25 头牛几天可以吃完？ 解法 1：原的生长速度=（16×20-20×12）÷（20-12）=10 牛/天原有草量=16×20-10×20=120 牛 吃的天数=120÷（25-10）=8 天 解法 2：设该牧场每天长草量恰可供 x 头牛吃一天，这片草场可供 25 头牛吃 n 天。 根据核心公式：(16-x)×20＝（20－x）×12＝（25－x）×n （16－x）×20＝（20－x）×12，得x＝10，代入得 n＝8 【例 2】有一块牧场，可供 10 头牛吃 20 天，15 头牛吃 10 天，则它可供多少头牛吃 4 天？ A.20 B.25 C.30 D.35 【答案】C 【解析】设该牧场每天长草量恰可供 x 头牛吃一天，这片草场可供 n 头牛吃 4 天 根据核心公式：（10－x）×20＝（15－x）×10＝（n－x）×4 （10－x）×20＝（15－x）×10，得 x＝5，代入得 n＝30 【例 3】如果 22 头牛吃 33 公亩牧场的草，54 天后可以吃尽，17 头牛吃 28 公亩牧场的草，84 天可以吃尽，那么要在 24 天内吃尽 40 公亩牧场的草，需要多少头牛？ A.50 B.46 C.38 D. 35 【答案】D 【解析】设每公亩牧场每天新长出来的草可供 x 头牛吃 1 天，每公亩草场原有牧草量为 y，24 天内吃尽 40 公亩牧场的草，需要 n 头牛 根据核心公式：33y＝（22－33x）×54， 得 y＝（2－3x）×18＝36－54x 28y＝（17－28x）×84，得 y＝（17－28x）×3＝51－84x 解方程，得 x＝1/2，y＝9， 因此，40×9＝（n－20）×24，得 n＝35，选择 D 【注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。 【例 4】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天。照此计算， 可供多少头牛吃 10 天？ 【解析】设该牧场每天减草量恰可供 X 头牛吃一天，这片牧场可攻 N 头牛吃 10 天。 根据核心公式：（20+X）*5=（15+X）*6=（N+X）*10 得 X=10，N=5. 【例 5】一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开 2 个出水管，那么 8 分钟后水池空； 如果同时打开 3 个出水管，那么 5 分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？ 【解析】假设晚开 N 分钟，则(2-X)*8=(3-X)*5=X*N 求得 X=1/3 N=40 分钟 【例 6】物美超市的收银台平均每小时有 60 名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付 80 名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始 4 小时就没有顾客排除了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了【浙江 2006】 A.2 小时 B.1.8 小 时 【答案】D C.1.6 小时 D.0.8 小时 【解析】设共需 n 小时就无人排队了，（80－60）×4＝（80×2－60）×x，解得 x＝0.8 【例 7】某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到