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2019中考数学专题汇编全集多解题(10道) 3或4【解析】如图，设BE=x，则CE=2-x，∵△CDF是等腰三角形，∴CD=DF=DE， ∵∠DFE=90°，∴EF=DE-DF=2-DF，∵△CDF是等腰三角形，∴∠CDF=∠DCB， ∴∠CDF=∠CAB，∴△EAF∽△EDC，∴ EF = DC × AF AE ，∴ 2-DF = 2 × 2 AE ，∴AE= 4 2-DF ，∴DF= 2AE -2 ，∴CF= 2 × 2AE -2 ，∴CE= 2 × 2AE -2 -2 ，∴CE= 4 -2AE ，∴BE=x= 4 -2AE -2 ，∴AE= 2 -4x，代入上式得x=3或x= 1 2 ，故BE的长为3或4. 如图，三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=8。三角形FDE与三角形ABC是完全相同的，其中顶点D与边AB的中点重合，DE和DF分别与AC相交于P和Q。如果重叠部分DPQ是以DP为腰的等腰三角形，则三角形DPQ的面积是多少？ 解析：我们分两种情况来讨论。第一种情况是当PD=PQ时，如图①所示，过D作DK⊥AC于点K，则DK∥BC。由于点D是AB的中点，因此DK=BC=2。又因为PD=PQ，所以∠PQD=∠PDQ。由于∠PDQ=∠B，因此∠PQD=∠B。又因为∠DKQ=∠C=90°，所以三角形DKQ相似于三角形ACB。因此，KQ/DK=AC/BC，即KQ/2=8/4，解得KQ=1。设PD=PQ=x，则PK=x-1。根据勾股定理，在直角三角形DPK中，有PK^2+DK^2=PD^2，即(x-1)^2+2^2=x^2。解得x=5/11。因此，△DPQ的面积为（1/2）×PQ×DK=（1/2）×(25/11)×2=25/11。 第二种情况是当PD=DQ时，如图②所示，过D作DK⊥AC，分别交AC、EF于点K、M，过M作MN⊥EF，交DF于点N，则MN∥DE。因为∠FDM=∠EDM，∠NMD=∠EDM，所以∠FDM=∠NMD。因此，MN=DN。设MN=DN=x，则tanF=DE/MN=1/x。因此，FM=2x。由于FD=AB=4√5，所以FN=FD-MN=4√5-x。根据勾股定理，在直角三角形FMN中，有FN^2=FM^2+MN^2，即(4√5-x)^2=(2x)^2+x^2。解得x=5-2√5或x=5+2√5。因此，ME=EF-FM=8-2x=25-2√5或25+2√5。由第一种情况可知，PK=5-1=4。因此，由DP为腰的等腰三角形DPQ的面积为（1/2）×PQ×DK=（1/2）×(25-2√5)×2=25-√5或（1/2）×(25+2√5)×2=20+√5。综上所述，三角形DPQ的面积为25/11或25-√5。 题目3： 由于∠C=90°，∠A=30°，AB=6，因此∠B=60°，BC=3。根据不同情况讨论： ① 当点D与点C重合时，连接CB'，则∠B=∠CB'E=60°，由于∠A=30°，因此∠A=∠AEB'，所以△AEB'是等腰三角形，此时CB'=BC=3。 ② 当AE=AB'时，△AEB'是等腰三角形，因此∠AB'E=75°。根据折叠的性质可得，∠DB'E=∠ABC=60°，因此∠DB'C=45°。又由于∠C=90°，因此△DCB'是等腰直角三角形，设CB'=x=DC，则BD=3-x=DB'。在Rt△DCB'中，有x^2+x^2=(3-x)^2，解得x=3或32-3。综上，CB的长为3或32-3。 题目10： 在矩形ABCD中，AB=4，AD=9，点E在BC上，CE=4，点F是AD上的一个动点，连接BF。将四边形ABEF沿EF折叠，点A、B分别落在点A'、B'处。当点B'恰好落在矩形ABCD的一边上时，AF的长为多少？ 如解图①，当点B'落在边AD上时，易证得四边形BEB'F为菱形，因此BF=BE=9-4=5，由勾股定理易得AF=3。 如解图②，当点B'落在边CD上时，BE=B'E=9-4=5，由勾股定理易得B'C=3，则B'D=4-3=1。设AF=x，则FD=9-x。根据折叠的性质得BF=B'F，因此x^2+4^2=(9-x)^2+1^2，解得x=3，即AF=3。 综上，当点B'恰好落在矩形ABCD的一边上时，AF的长为3。