人教A版高中数学选择性必修第二册5.3导数在研究函数中的应用 经典例题及配套练习题.pdf

5.3 导数在研究函数中的应用 5 ．3．1 函数的单调性 例1 利用导数判断下列函数的单调性： 3 （1）() = +3； （2 ）() = sin −， ∈ (0,)； ;1 （3 ）() = ． 3 解：（1）因为() = +3，所以 ′ 2 ( 2 ) () = 3 + 3 = 3 + 1 > 0． 3 所以，函数() = + 3在R 上单调递减，如图5.3-4 （1）所示． （1） （2 ） （3 ） 图5.3-4 （2 ）因为() = sin −， ∈ (0,)，所以 ′ () = cos − 1 < 0． 所以，函数() = sin −在(0,)上单调递减，如图5.3-4 （2 ）所示． 1 （3 ）因为() = 1− ， ∈ (−∞,0) ∪ (0, +∞)，所以 1 ′ () = 2 > 0． 1 所以，函数() = 1− 在区间(−∞,0)和(0, +∞)上单调递增，如图5.3-4 （3 ）所示． ′ 例2 已知导函数 ()的下列信息： ′ 当1 < < 4时， () > 0； ′ 当 < 1，或 > 4时， () < 0； ′ 当 = 1，或 = 4时， () = 0． 试画出函数()图象的大致形状． ′ 解：当1 < < 4时， () > 0，可知()在区间(1,4)上单调递增； ′ 当 < 1，或 > 4时， () < 0，可知()在区间(−∞, 1)和(4, +∞)上都单调递减； ′ 当 = 1，或 = 4时， () = 0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”． 综上，函数()图象的大致形状如图5.3-5 所示． 图5.3-5 练习 1．判断下列函数的单调性： ( ) 2 （1） = −2 +4； ( ) （2 ） = − ( ) ( ) 【答案】（1） 在(−∞, 1)单调递减, 在(1, +∞)上单调递增. （2 ） 在(−∞,0)单调递减，在 (0, +∞)上单调递增. ′ ′ ′ 【分析】求出 ()，分别令 () > 0， () < 0，即可解出()的单调递增、递减区