人教A版高中数学必修第二册7.1复数的概念 经典例题及课后练习题.docxVIP

7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 例1当实数m取什么值时，复数是下列数？ （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 分析：因为，所以，都是实数.由复数是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值. 解：（1）当，即时，复数z是实数. （2）当，即时，复数z是虚数. （3）当，且，即时，复数z是纯虚数. 练习 1. 说出下列复数的实部和虚部：. 【答案】实部分别为；虚部分别为. 【分析】 根据复数的概念，复数，则为实部，为虚部，解答即可. 【详解】解：的实部分别为； 虚部分别为. 2. 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.为什么？. 【答案】实数有；虚数有；纯虚数有. 【分析】 根据复数的概念解答即可. 【详解】解：对于复数，若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数；可知 实数有：； 虚数有：； 纯虚数有：. 3. 求满足下列条件的实数x，y的值： （1）； （2） 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据复数相等的充要条件为实部和实部相等，虚部和虚部相等，得到方程组，解得； （2）复数为零的充要条件为实部和虚部同时为零，得到方程组，解得； 【详解】解：（1） ， 解得； （2） ， 解得 7.1.2 复数几何意义 例2设复数，. （1）在复平面内画出复数，对应的点和向量； （2）求复数，的模，并比较它们的模的大小. 解：（1）如图7.1-4，复数，对应的点分别为，，对应的向量分别为，. （2）， . 所以. 例3设，在复平面内z对应点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ （1）； （2）. 解：（1）由得，向量的模等于1，所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆. （2）不等式可化为不等式 不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点Z的集合.容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（图7.1-5）. 练习 4. 说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小方格的边长为1）． 【答案】，，，，，，，． 【分析】 根据各点坐标确定对应复数. 【详解】因为，，，，，，，． 所以，，，，，，，． 5. 在复平面内，描出表示下列复数的点： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）5； （6）． 【分析】（1）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出； （2）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出； （3）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出； （4）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出； （5）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出； （6）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出； 【小问1详解】 对应点为， 【小问2详解】 对应点为（－3,2）， 【小问3详解】 对应点， 【小问4详解】 对应点 【小问5详解】 对应点， 【小问6详解】 对应点， 6. 已知复数． （1）在复平面内画出这些复数对应的向量； （2）求这些复数的模． 【答案】（1）见解析（2）；；2；4；． 【分析】 （1）根据复数几何意义确定点坐标，再在复平面内作向量； （2）根据复数模的定义求模. 【详解】解：（1）如图所示． （2）；；；；． 习题7.1 复习巩固 7. 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子若不存在，请说明理由. （1）实部为的虚数； （2）虚部为的虚数； （3）虚部为的纯虚数. 【答案】（1）存在，例如. （2）存在，例如 （3）存在，只能是. 【分析】 根据复数的概念求解． 【详解】（1）存在，例如. （2）存在，例如 （3）存在，只能是. 8. 实数m分别为何值时，复数是 （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数. 【答案】（1）m=0或m=3；（2）且；（3）m=2. 【分析】（1）当复数的虚部等于零,复数为实数,由此求得m的值； （2）当复数的虚部不等于零,复数为虚数,由此求得m的值； （3）当复数的实部等于零且虚部不等于零时,列方程组,即由此求得m的值. 【详解】复数. （1）要使z为实数，只需，解得：m=0或m=3； （2）要使z为虚数，只需，解得：且； （3）要使z为纯虚数，只需，解得：m=2. 9. 求适合下列方程的实数x与y的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据复数相等的定义计算． （2）根据复数相等的定义计算． 【小问1详解】 由题意，解得． 【小问2详解】 由题意，解得． 10. 如果P是复平面内表示复数的点，分别指出在下列条件下点P的位置. （1）； （2）； （3）；