7.1.复数的概念 讲义-新教材人教A版高中数学必修第二册.docx

第七章 第七章 复数 第一节复数的概念 知识点1 复数 1）概念：形如(a，b∈R)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，全体复数所成的集合叫做复数集。复数通常用字母表示，即(a，b∈R) 2）虚数单位的性质 叫做虚数单位，并规定：①可与实数进行四则运算；②；这样方程就有解了，解为或 对于复数的定义要注意以下几点： ①(a，b∈R)被称为复数的代数形式，其中表示与虚数单位相乘 ②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 （2）分类： 满足条件(a，b为实数) 复数的分类 a＋bi为实数?b＝0 a＋bi为虚数?b≠0 a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0 知识点2 复数的分类 对于复数【a，b】，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=c=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数，当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R,是复数集C的真子集，即.知识点3 复数的几何意义 复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 相等的向量表示同一个复数 知识点4 复数的模 向量的模叫做复数的模，记作或，表示点到原点的距离，即 ， 若，，则表示到的距离，即 例题探究 例题探究 例题1．复平面内表示复数的点为. （1）当实数取何值时，复数表示纯虚数，并写出的虚部； （2）当点位于二、四象限时，求实数的取值范围； （3）当点位于直线上时，求实数的值. 【答案】（1）时，复数是纯虚数，虚部为（2）（3）或 【详解】 （1）当且， 即时，复数是纯虚数，虚部为-4； （2）或解得; 所以当时，点位于二、四象限； （3）当 即或时，位于直线上. 例题2．已知复数在平面内对应的点分别为，，（）. （1）若，求的值； （2）若复数对应的点在二、四象限的角平分线上，求的值. 【答案】(1);(2). 【解析】 分析：（1）由已知复数在平面内对应的点分别为，，写出复数的代数形式，通过复数的模，列出不等式即可求出a的范围； （2）利用复数的运算法则和几何意义即可得出结果． 详解：1）由题意可知, ∴ ∴ ∴即 ∴ 由 ∴ 由对应的点在二、四象限的角分线上可知 ∴ 例题3．设复数． (1)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围； (2)若z在复平面内对应的点在直线x－y－1＝0上，求m的值． 【答案】（1）{m|－1<m<0}．（2）m＝1±． 【详解】 (1)由已知得 由①得－1<m<0，由②得m<2， 故不等式组的解集为{m|－1<m<0}， 因此m的取值范围是{m|－1<m<0}． (2)由已知得，点(log2(1＋m)，log (3－m))在直线x－y－1＝0上， 即log2(1＋m)－log (3－m)－1＝0， 整理得log2(1＋m)(3－m)＝1， 从而(1＋m)(3－m)＝2， 即m2－2m－1＝0， 解得m＝1±， 经验证得，当m＝1±时，都能使1＋m>0，且3－m>0， 所以m＝1±. 例题4．已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(m∈R)． （1）若复数z是实数，求实数m的值； （2）若复数z是虚数，求实数m的取值范围； （3）若复数z是纯虚数，求实数m的值； （4）若复数z是0，求实数m的值． 【答案】（1）m＝5或－3；（2）{m|m≠5且m≠－3}；（3）m＝－2；（4）m＝－3. 【详解】 （1）当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，所以m＝5或－3. （2）当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数．所以m≠5且m≠－3. 所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠－3}． （3）当时，复数z是纯虚数，所以m＝－2. （4）当时，复数z是0，所以m＝－3. 例题5．设复数，复数． （Ⅰ）若，求实数的值. （Ⅱ）若，求实数的值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) 【分析】 （Ⅰ）先由复数的加法法则得出，再利用复数的乘方得出，并表示为一般形式，由虚部为零求出实数的值； （Ⅱ）解法1：利用复数的除法法则求出，并表示为一般形式，利用复数相等列方程组，求出实数与的值； 解法2：由变形为，利用复数的乘法将等式左边复数表示为一般形式，再利用复数相等列方程组求出实数与的值． 【详解】 （Ⅰ）=== 因为，所以，，； （Ⅱ）解法1：，所以，因此，； 解法2：，则， 所以． 随堂练习 随堂练习 1．若复数满足，试判断复数在复平面上对应的点的轨迹图形，并求使最大时的复数． 2．已知复数 （1）当实数m为何值时，z为实数； （2）当实数m为何值时，z为纯虚数. 3．已知复数. （1）设，求的值； （2）求满足不等式的实数的取值范围. 4．设，复数(为虚数单位)是纯虚数． （1）求的值； （2）若是方程的一个根，求实数，的值． 5．已知，