高中数学北师大版选择性导数及其应用6用导数研究函数性质函数的极值“百校联赛”一等奖.pptx

6.2 函数的极值在线堂课 北师大2019版-高中数学选修2 【情境引入】 问题1：平面上，在周界长度相等的封闭几何图形中，什么图形的面积最大？ 问题2：用三个全等的菱形作顶盖来封闭一个正六棱柱，要使所得的几何体有给定的容积，而其表面积最小，该菱形相邻两内角的度数是多少？ 【概念学习】 如图（1），在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y=f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值. 如图（2），在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y=f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值. 极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.极值的概念.abx0yOx（1）yabx0Ox（2） 练习1.如图（3），指出该函数的极值点与极值.yabx1x2x3x4Oxf(x1)f(x2)f(x3)f(x4)f(a)f(b)（3）练习2.判断对错：①极值点是函数图像上的一点；②极大值一定大于极小值；③一个函数的极值是唯一的；④函数y=|x|没有极值.极大值点极小值点极大值极小值×××× 我们不难得出以下结论：yabx0Ox（4）yabx0Ox（5） 如图(4)，如果函数y=f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值. 如图(5)，如果函数y=f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值. 【相关回顾】导函数的符号与函数的单调性之间的关系： 如果在某个区间内，函数y=f (x)的导数f ′(x)＞0，则在这个区间上，函数y=f (x)是增加的； 如果在某个区间内，函数y=f (x)的导数f ′(x)＜0，则在这个区间上，函数y=f (x)是减少的. 【探究新知】 结合导数与函数单调性的关系，我们可以得到如下表格：00x(a，x0)x0(x0，b)f ′(x)＋－y=f (x)增加↗极大值减少↘x(a，x0)x0(x0，b)f ′(x)－＋y=f (x)减少↘极小值增加↗ 函数极值的判断： 一般情况下，若x0满足f ′ (x0)=0，且在x0的两侧f (x)的导数异号，则x0是f (x)的极值点，f (x0)是极值. 如果f ′ (x) 在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f (x)的极大值点，f (x0)是极大值； 如果f ′ (x) 在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f (x)的极小值点，f (x0)是极小值.【抽象概括】 导数为0的点x0一定是函数的极值点吗？ 答：不一定. 如函数y=x3在x=0处的导数为0，而x=0却不是该函数的极值点. 【例题分析】 例1.求函数 的 极值.图像欣赏xf ′(x)y极大值极小值＋－＋00↗↘↗ 例2.求函数 的极值点.xf ′(x)y=f (x)图像欣赏－↘极小值↗＋0(0，1)(1，+∞)1 一般情况下，我们可以通过如下步骤求函数y=f (x)的极值点： 1.求出导数f ′(x). 2.解方程f ′(x)=0. 3.对于方程f ′(x)=0的每一个解x0，分析 f ′(x)在x0左、右两侧的符号，确定极值点： (1)若f ′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点； (2)若f ′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点； (3)若f ′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点.【形成技能】 练习.求函数 的极值点.图像欣赏【课堂练习】 【课堂小结】创设情境，激发兴趣 1.本堂课我们经历了什么？2.本堂课我们学到了什么？一个概念：函数极值的概念. 一个判断：函数极值的判断. 几何直观，概念成型 相关回顾，引发新思 探索概括，获取新知 抽丝剥茧，领悟要点 典例总结，形成技能 要点：1.导数零点；2.该点两侧，导数异号.步骤：1.求导；2.解方程；3.分析符号，写出结果. 【课后作业】 【课后作业参考答案】 谢谢 THANKS7/22/2023