第1讲-矩阵的秩与初等变换.pptx

第1节 矩阵的秩与初等变换; 当 R(A)=r时，即 A 中所有的 r+1 阶子式全等于 0，则A中所有高于 r+1 阶的子式 = ？ 这些子式必定为0，从而 A 的秩 R(A) 就是 A 中不等于 0 的子式的最高阶数。 由于 R(A) 是 A 的非零子式的最高阶数。因此，若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不为 0，则 R(A) ≥ s；若 A 中所有 t 阶子式全为0，则 R(A)<t。;例：求矩阵 A 和 B 的秩，;行阶梯形矩阵：;二 初等变换与矩阵秩的求法 定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换： (i) 对调两行(对调 i, j 两行，记作 )； (ii) 以数 k≠0乘某一行中的所有元素(第i行乘k,记作ri×k)； (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去 (第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，记作 )。 把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义 (所用记号是把 “r” 换成 “c” )。 矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换。;定义：如果矩阵 A 经过有限次初等行变换变成矩阵 B，就称矩阵 A与 B 行等价，记作 ； 如果矩阵 A 经过有限次初等列变换变成矩阵 B，就称矩阵 A与 B 列等价，记作 ； 如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B，就称矩阵 A与B 等价，记作 。;定理：任意一个矩阵可经过一系列初等行变换化为与之行等价的行阶梯形与行最简形矩阵。 证明：由于只需对行阶梯形矩阵中的非零行乘以特定的非0常数，即可变成行最简形。因此只需证初等行变换可化矩阵为行阶梯形即可。 设 对第一列的元素a11, a21,…, as1，只要其中一个不为零，用交换两行的初等行变换，总能使第一列的第一个元素不为零，然后从第二行开始，每一行都加上第一行的一个适当的倍数，于是第一列除去第一个元素外就全是零了。;即经过一系列初等行变换后，有;定理：初等变换不改变矩阵的秩。 证明：先证明若 A 经一次初等行变换变为 B，则 R(A) ≤ R(B); 设 R(A)=r，且 A 的某个 r 阶子式 D≠0。 对交换两行与把某一行乘以非0常数k的初等变换，比如 在 B 中总能找到与D相对应的 r 阶子式 D1，且有 D1=D 或 D1 = -D 或 D1 = kD， 因此 D1≠0，从而 R(B) ≥ r = R(A)。 2) 把某行的倍数加到另一行的初等变换。 由于对交换两行的初等变换已经证明结论成立，故只需证明把第二行的某个倍数加到第一行时，秩不减即可。;分两种情形。 A 的 r 阶非零子式 D 不包含 A 的第一行，这时 D 也是 B 的 r 阶非零子式，故 R(B) ≥r； D 包含 A 的第1行，这时把 B 中与 D 对应的 r 阶子式 D1 记作; 又注意到 B 亦可经由一次初等行变换变为 A，故 R(B) ≤ R(A)， 因此经一次初等行变换后 R(A)=R(B)。 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩不变。 设 A 经初等列变换变为 B，则 AT 经初等行变换变为 BT，由行初等变换不改变秩的事实知， R(AT) = R(BT)， 又 R(A)=R(AT), R(B)=R(BT)，因此 R(A)=R(B)。 总之，若 A 经过有限次初等变换化为 B，则秩不变，即 R(B) = R(A)。;例：求矩阵 A 的秩：;矩阵的标准形 对于m×n 矩阵 A，总可经过初等变换化成如下形式 该形式称为 A 的标准形。其中 r = R(A).;例：化矩阵 B 为标准形，;内容总结第1节 矩阵的秩与初等变换; 当 R(A)=r时，即 A 中所有的 r+1 阶子式全等于 0，则A中所有高于 r+1 阶的子式 = ？ 这些子式必定为0，从而 A 的秩 R(A) 就是 A 中不等于 0 的子式的最高阶数。 由于 R(A) 是 A 的非零子式的最高阶数。因此，若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不为 0，则 R(A) ≥ s；若 A 中所有 t 阶子式全为0，则 R(A)<t。;例：求矩阵 A 和 B 的秩，;行阶梯形矩阵：;二 初等变换与矩阵秩的求法 定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换： (i) 对调两行(对调 i, j 两行