随机变量及其分布.ppt

第一页，共三十九页，2022年，8月28日 例1. “抛硬币”试验中，规定“出现正面” 时X取1， “出现反面” 时X取0，则X为随机变量. 进行n次独立重复试验，每次试验中事件A出现的概率为p,则n次试验中A出现的次数Y为随机变量. Y的取值y=0,1,2,…,n. 从一批次品率为p的产品中逐件抽取产品，每次经检验后仍放回再抽下一件，直到抽到次品为止，则抽取的次数Z为随机变量。 Z的取值z= 1,2,3,…… 从一批灯泡中随机抽取一只，观察其寿命T,则T为随机变量， T的取值t∈[0,C]. 随机变量满足某个关系式，就表达一个随机事件. 如“掷骰子，观察得点数X”试验中 关系式 X=3 2≤x<4 X=3.5 x≥1 事件 得3点 得2点或3点 不可能事件 必然事件 第二页，共三十九页，2022年，8月28日 定义：设X为随机变量，对任意实数x，{X≤x}为随机事件， 函数 F(x)=P{X≤x} 称为X的分布函数. 分布函数性质： F(x)单调非减； 0≤ F(x) ≤1；且 3.F(x+0)= F(x)（右连续）; 4.P{a<X≤b}=F(b)-F(a) x a b x x 证：{a<X≤b}={X≤b}-{X ≤a} {X ≤a} {X≤b} ∴P{a<X≤b}=P{X≤b}-P{X≤a}=F(b)-F(a) 第三页，共三十九页，2022年，8月28日 例2.在一个均匀陀螺的圆周上，均匀地刻上区间[a,b)上的 诸值，旋转这陀螺，求它停下时圆周与桌面的触点刻度 X的分布。 解： F(x) a b x x 1 x x F(x)=P{X≤x}= 第四页，共三十九页，2022年，8月28日 X x1 x2 …… xn …… pk p1 p2 …… pn …… 分布律也可用表格的形式给出： 离散随机变量—其可能值为有限个或可列个。 设X的所有可能值为xk(k=1,2,3,…),X取各个可能值的概率 P{X=xk}=pk (k=1,2,3,…), 称为离散随机变量的分布律. 由概率的定义，pk满足： Pk≥0,k=1,2,…; p1+p2+p3+…=1. 2.2 离散随机变量及其分布律 第五页，共三十九页，2022年，8月28日 X x1 x2 …… xk …… P p1 p2 …… pk …… 一般，设离散随机变量X的分布律为： 则X的分布函数 F(x)=P{X≤x}= 即 Pk=F(xk)-F(xk-1) F(x) x x1<x2<...<xk<... 第六页，共三十九页，2022年，8月28日 Z 1 2 3 …… k. …… pk p (1-p)p (1-p)2p …… (1-p)k-1p …… Y 0 1 2 …… k …… n pk (1-p)n Cn1p(1-p)n-1 Cn2p2(1-p)n-2 …… Cnkpk(1-P)n-k …… pn X 0 1 pk 0.5 0.5  例1.求下列离散随机变量X， Y， Z的分布律 1.“抛硬币”试验中，规定“出现正面” 时X取1， “出现反面” 时X取0。 2.进行n次独立的重复试验，每次试验中事件A出现的概率为p(0<p<1),不出现的概率为1-p（称这一系列重复的独立试验为n 重伯努利试验），n次试验中A出现的次数为Y。 3.从一批次品率为p的产品中逐件抽取产品，每次经检验后仍放 回再抽下一件，直到抽到次品为止，抽取的次数为Z。 第七页，共三十九页，2022年，8月28日 例2.一口袋中有标有数字 -1，2，2，2，3，3的6个球，从中任取1球，球上标有数字X， 则随机变量X的分布律： X -1 2 3 p 1/6 3/6 2/6 第八页，共三十九页，2022年，8月28日 例3.设随机变量X的分布律为： 求X的分布函数。 解： F(x)=P{X≤x}= X -1 2 3 pk 1/6 1/2 1/3 X X X X -1 2 3 1 第九页，共三十九页，2022年，8月28日 三种重要的离散随机变量的分布律： （0-1）分布： 随机变量X只可能取0，1两个值，其分布律: P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 (0<p<1) X 0 1 pk 1-p p 第十页，共三十九页，2022年，8月28日 进行n次独立的重复试验（n 重伯努利试验）， 每次试验中事件A出现的概率为p(0<p<1),不出现的概率为1-p,n次试验中A出现的次数为Y.称Y服从参数为n，p的二项分布。记为Y~b(n,p),其分布律为： Y 0 1 2 …… k …… n pk (1-p)n Cn1 p (1-p)n-1 Cn2 p2 (1-p)n-2 …… Cnk pk (1-P)n-k …… pn n=1时，P{X=