轴对称求函数.ppt

第一页，共二十六页，2022年，8月28日 1、勒让德多项式的正交性 不同阶的勒让德多项式在区间（-1，+1）上正交 2、 勒让德多项式的模 即勒让德多项式的模为 第二页，共二十六页，2022年，8月28日 3、勒让德多项式的完备性 是完备的，可作为傅里叶级数的基 第三页，共二十六页，2022年，8月28日 4、勒让德多项式的母函数 母函数关系式： 物理背景：在单位球的北极放置 单位的正电荷，则球内任一点的电势为 另一方面电势 满足 且以 球坐标系的极轴为对称轴，即 球内电势 第四页，共二十六页，2022年，8月28日 求系数A=? 取θ=0 上式左边展成泰勒级数 得到 球外电势（证明） 第五页，共二十六页，2022年，8月28日 勒让德多项式的母函数 以半径为R的球代替单位球，则有 第六页，共二十六页，2022年，8月28日 母函数的用途：可用它研究和导出 的其他性质。称为母函数法 5、递推公式 母函数 对r求导数 第七页，共二十六页，2022年，8月28日 对比两边rk的系数，得 第八页，共二十六页，2022年，8月28日 证明第二个公式 两边对x求导 对比两边 项的系数，得 将第一个递推公式对x求导数，得 第九页，共二十六页，2022年，8月28日 从上二式得到 类似的，还可得到下列公式 第十页，共二十六页，2022年，8月28日 递推公式的用途： 公式1可用低阶 求高阶 知 ， ，求 对公式1取 得 希望导出 可用公式2求含 的积分 第十一页，共二十六页，2022年，8月28日 用递推公式求定积分 例1. 计算定积分 解: 第十二页，共二十六页，2022年，8月28日 例2. 计算 解：积分区间[0，1]，不可应用正交关系。 用到关系 第十三页，共二十六页，2022年，8月28日 当l=0时， 不存在，以上计算不成立。 第十四页，共二十六页，2022年，8月28日 §10.3 拉普拉斯方程的轴对称定解问题 拉普拉斯方程的定解问题。取对称轴为球坐标的极轴， 问题与φ无关，用m=0的轴对称函数 例3. 在球r=r0,的内部求解 是满足边界条件 解：边界条件与φ无关，球坐标的极轴为对称轴，解也应以球坐标的极轴为对称轴，解为 考虑到 有限值，那么 应舍去，即取 Bl=0 , 第十五页，共二十六页，2022年，8月28日 代入边界条件，确定系数Al 第十六页，共二十六页，2022年，8月28日 例4. 半球的球面保持一定温度u0cosθ,半球底面保持零度。求这个半球内的稳定温度分布。 解：采用球坐标系，以球心为坐标系的极点，对称轴作为坐标系的极轴，问题与φ无关，定解问题表为 用勒让德多项式展开成 傅里叶级数 ——〉半球问题——全球问题 θ：（0，π/2）——〉（0，π） 保证半球底面温度为零度，下半球面有一 个对称的负的温度 ，作奇 延拓。（第一类边界条件下作奇延拓） 第十七页，共二十六页，2022年，8月28日 定解问题转化为 定解问题的解 代入边界条件确定Al 第十八页，共二十六页，2022年，8月28日 该问题变成底面绝热 ——〉 作偶延拓 我们已计算 问题的解 第十九页，共二十六页，2022年，8月28日