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接触-碰撞有限元计算算法综述 1 相关研究现状 实际设计中存在着变形体之间的接触冲突（或动态接触）。 接触-碰撞数值算法的研究大致起始于20世纪70年代, 迄今已有很多学者开展了相关研究, 发展了许多优秀算法。Bourago等 基于拉格朗日框架的显式有限元是处理变形体间接触-碰撞最常用的数值方法, 因此本文主要针对显式拉格朗日有限元相关的接触-碰撞算法进行总结分析。 2 接触界面的色散 2.1 处理工具中界面接触的描述 变形体间接触-碰撞问题的有限元理论与基本数值方法可参考文献 接触-碰撞算法可处理任意多个物体间的相互作用, 多物体间的接触可归结为物体间的两两作用。不失一般性地, 本文以两个物体间的接触为例给出其数学描述。如图1所示, 相互接触的两个变形体A和B, t时刻的构形分别标识为Ω 接触-碰撞系统除应满足通常的连续体控制方程外以及接触界面上还应满足一定的运动学条件与动力学条件 即两物体间的间隙要求大于或等于0, 0值对应于接触状态, g 如果不考虑接触面的焊接或粘接作用, 界面法向作用力p 2.2 接触-碰撞问题的拉格朗日乘子法离散方程 与不含接触的问题相比, 接触-碰撞系统仅需在接触界面上额外引入约束条件 (1~3) 。因此, 可方便地建立接触-碰撞系统的控制方程弱形式 式中σ 对应于接触界面约束的罚函数法弱形式。若p 即为拉格朗日乘子法的弱形式。 对方程 (4) 进行有限元离散, 可得半离散方程: 式中M为质量矩阵, a 中心差分法是显式有限元最常用的积分方法, 此时方程 (7) 的时域离散可概括为 式中Δt 采用显式积分求解时, 方程 (8) 右端项中唯一的未知量为t 接触-碰撞问题中, 接触面通常不能事前确定, 并且随时间动态变化, 因此接触力计算可进一步分解为接触搜索与接触约束施加两个子问题。接触搜索的目的是确定系统中哪些部位发生了接触或者哪些原已接触的部位发生了分离或滑移, 接触约束施加则根据系统当前接触状态计算出界面接触力以满足接触约束条件。 2.3 接触界面离散模型 有限元方法中, 相互接触的变形体 (接触体) 离散为有限单元, 接触界面即为变形体外表面的单元面集合或节点集合。这样, 接触体间的作用转化为离散的节点间、节点与单元面或单元面间的相互作用。 为便于问题描述, 本文采用Hallquist等 根据接触界面离散方式的不同, 界面模型可分为三类。 (1) 点-点NTN (node-to-node) 模型 (2) 点-面NTS (node-to-segment) 模型 (3) 面-面STS (segment-to-segment) 模型 接触界面离散方式在很大程度上决定了接触界面搜索方式和接触力的计算方法。鉴于NTS模型的广泛应用, 本文将针对基于该类模型发展的相关算法进行讨论。 3 接触搜索的实现 如上文所述, 接触界面的确定是接触-碰撞问题数值计算中最耗时的部分。如采用最直接的暴力搜索方法确定接触对, 其计算量将为O (N 为加速接触对确定, 接触搜索通常分全局搜索和局部搜索两个步骤进行。全局搜索利用某些简单的准则快速排除掉系统中不可能发生接触的部位, 或挑选出最可能发生接触的从点与主片对, 即确定出接触测试对。局部搜索则从接触测试对中精确确定出真实发生接触的从点与主片对, 即接触对。一般而言, 全局搜索决定了接触计算效率;局部搜索主要影响接触计算精度, 同时对计算效率也有一定影响。 典型的全局搜索算法有主从面算法 3.1 整个搜索方法 3.1.1 确定接触部位 主从面算法 主从面算法的计算复杂度仍为O (N 主从面算法对于含有少量接触, 且事前可大致确定出接触部位的问题非常有效。但该算法只能处理两个表面间的接触, 不能用于单一曲面接触, 也不能用于含材料断裂破坏的侵蚀接触分析, 甚至不能用于相对初始构形有严重变形的接触问题 3.1.2 节点分组优化 桶排序法是目前应用最广泛的全局搜索算法, 该类算法的基本思想是 桶排序法通过将节点分组 (同一桶中的节点视为一组) 极大缩小了全局接触搜索范围, 从而大幅提高计算效率。该算法不需要预先指定接触主从面, 因此具有良好的适用性, 可以用于多体接触 对三维空间问题, 经典桶排序法 Heinstein等 3.1.3 接触域和接触搜索 级域算法 层域是某层级实体占据的空间, 为避免每个迭代步都进行全局搜索, 可将此区域适当扩展而形成扩展域。当从点位于某主点、线或片的接触域内时, 认为该从点与相应的主点、线或片接触。点、线与片接触域的定义如图4所示。片的接触域由其边、外法线方向及某种特征厚度确定, 线的接触域由其外法线方向及其所在的片厚度确定, 点的接触域则由其所在线的外法线方向及相应片厚度确定。 接触搜索时, 先在较高级的层域间进行, 若两个域存在重叠