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专题十 与几何图形有关的探究题
数学
本题型基本上是每年中考的必考题 ,且多以几何压轴题的形式出现 ,常把圆、
四边形与三角函数的知识结合起来考查,综合程度较高 ,所以难度较大.预
计2018年仍会考查与几何图形有关的探究题.
【例1】(2017 ·天水)△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形 ,
∠BAC =∠EDF =90 °,△DEF 的顶点E与△ABC 的斜边BC 的中点重合,将
△DEF绕点E旋转 ,旋转过程中 ,线段DE与线段AB相交于点P ,线段EF与射
线CA相交于点Q.
(1)如图① ,当点Q 段AC上 ,且AP =AQ时 ,求证:△BPE≌△CQE ;
(2)如图② ,当点Q 段CA的延长线上时,求证:△BPE ∽△CEQ;并求
当BP =2 ,CQ =9时BC 的长.
【思路引导】(1)由△ABC是等腰直角三角形 ,得∠B =∠C =45° ,AB =AC ,
又由AP =AQ ,E是BC的中点 ,利用SAS ,可证得△BPE≌△CQE.
(2)由已知 ,易得∠B =∠C =∠DEF =45° ,然后利用三角形的外角的性质 ,
即可得∠BEP =∠EQC ,从而可证得△BPE ∽△CEQ ;再根据相似三角形的对应
边成比例 ,从而可求得BE的长 ,由此可得BC的长.
证明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠B=∠C=45°,AB=AC.
∵AP=AQ ,∴BP=CQ.∵E是BC 的中点,∴BE=CE ,
BE=CE ,
在△BPE和△CQE 中,∠B=∠C ,∴△BPE≌△CQE(SAS).
BP=CQ ,
证明:(2)连接PQ ,∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=∠DEF=45°.∵∠BEQ=∠EQC+∠C ,
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C ,∴∠BEP+45°=∠EQC+45°.
BP BE
∴∠BEP=∠EQC.∴△BPE∽△CEQ ,∴ = .
CE CQ
2
∵BP=2 ,CQ=9 ,BE=CE ,∴BE=18.∴BE=CE=3 2.∴BC=6 2.
【例2 】(2017 ·东营)如图 ,在等腰三角形ABC 中,∠BAC =120°,
AB =AC =2 ,点D是BC边上的一个动点(不与B ,C重合) ,
在AC上取一点E ,使∠ADE =30 °.
(1)求证:△ABD ∽△DCE ;
【思路引导】根据已知条件找到两组对应角相等 ,从而证明△ABD ∽△DCE.
证明:∵△ABC是等腰三角形 ,且∠BAC =120°,
∴∠ABD =∠ACB =30 °. ∴∠ABD =∠ADE =30°.
∵∠ADC =∠ADE +∠EDC =∠ABD +∠DAB ,
∴∠EDC =∠DAB. ∴△ABD ∽△DCE.
(2)设BD =x ,AE =y ,求 出自变量x 的取值范围;
【思路引导】如图 ,作高AF ,根据含30 °角的直角三角形的性质求AF的长
,根据勾股定理求BF的长 ,则可得BC的长 ,根据(1)中的相似三角形列比例式
可得函数解析式 ,并确定自变量的取值范围.
解:如图,∵AB=AC=2 ,∠BAC=120°,过点A作AF⊥BC于点F ,
1
∴∠AFB=90°.∵AB=2 ,∠ABF=30°,∴AF=AB=1.∴BF=3.
2
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