中考数学第二轮复习专题讲解几何直观问题.docx

PAGE PAGE 10 中考专题 3 几何直观 第一部分 真题精讲 【例 1】如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AD ? 3 ， DC ? 5 ， BC ? 10 ，梯形的高为4 ．动点M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动．设运动的时间为t （秒）． NA D N B M C 当MN ∥ AB 时，求t 的值； 试探究： t 为何值时， △MNC 为等腰三角形． 【思路分析 1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。 对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N 是在动，意味着 BM,MC 以及 DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件 DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当 M 、 N 运动到t 秒时，如图①，过 D 作 DE ∥ AB 交 BC 于 E 点，则四边形 ABED 是平行四边形． NA D N B E M C ∵ AB∥ DE ， AB ∥ MN ． ∴ DE ∥ MN ． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将 MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） MC NC ∴ ? EC CD ． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ 10 ? 2t ? t 50 ．解得t ? ． 10 ? 3 5 17 【思路分析 2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了 MN=MC,MC=CN 这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想， 两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】 （2）分三种情况讨论： ① 当 MN ? NC 时，如图②作 NF ? BC 交 BC 于 F ，则有 MC ? 2FC 即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质） DF 4 ∵ sin ?C ? ? ， CD 5 3 ∴ cos?C ? 5 ， 3t ∴10 ? 2t ? 2 ? 5 ， 25 解得t ? 8 ． NA D N B M F C ② 当 MN ? MC 时，如图③，过M 作 MH ? CD 于 H． 则CN ? 2CH ， ∴ t ? 2?10 ? 2t ?? 3 ． 5 60 ∴ t ? 17 ． NH N H B M C ③ 当 MC ? CN 时， 则10 ? 2t ? t ． 10 t ? 3 ．  25 60 10 综上所述，当t ? 8 、 或 17 3 时， △MNC 为等腰三角形． 【例 2】在△ABC 中，∠ACB=45o．点D（与点B、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF． 如果AB=AC．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论． 如果AB≠AC，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ 2若正方形ADEF 的边 DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P，设 AC＝ 4 CP 的长．（用含 x 的式子表示） 2 ， BC ? 3 ，CD= x ，求线段 【思路分析 1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由 D 运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。 【解析】： （1）结论：CF 与 BD 位置关系是垂直； 证明如下： AB=AC ，∠ACB=45o，∴∠ABC=45o． 由正方形ADEF 得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90o， ∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD． ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即 CF⊥BD． 【思路分析 2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行， 于是我们和上题一样找AC 的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。 CF⊥BD．(1)中结论成立． A 理由是：过点A 作 AG⊥AC 交 BC 于点G，∴AC=A