人教A版2019高中数学选修21习题第三章31313空间向量的数量积运算_含答案.docx

第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 A 级 基础巩固 一、选择题 1．对于 a，b，c 向量和实数 λ ，下列命题中真命题是( ) A．若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0 若 λ a＝0，则 λ ＝0 或 a＝0 若 a2＝b2，则 a＝b 或 a＝－b 若 a·b＝a·c，则 b＝c 答 案 ：B 2．下列命题中，正确的命题个数为( ) ①m(λ a)·b＝(mλ )a·b(m，λ ∈R)；②a·(b＋c)＝(b＋c)·a；③(a＋b)2＝a2＋2a·b ＋b2. A．0 B．1 C．2 D．3 解析：三个命题都正确． 答案：D 已知非零向量 a、b 不平行，并且其模相等，则a＋b 与 a－b 之间的关系是( ) 垂直C．不垂直 共 线 D．以上都可能 解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以 a、b 垂直． 答案：A 已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么|a＋3b|＝( ) 13A．13 B. 13 5C．2 D. 5 解析：|a＋3b|＝ （a＋3b）2＝ a2＋6a·b＋9b2＝ 1＋6×cos 60°＋9＝ 13. 答案：A 已知 a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝ 19，则向量 a 与 b 之间的夹角〈a，b〉为( ) A．30° B．45° C．60° 答案：C 二、填空题 D．以上都不对 6．已知空间向量 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则 a·b＋b·c ＋c·a 的值为 ． 解析：因为 a＋b＋c＝0，所以(a＋b＋c)2＝0，所以 a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0， a b b c 32＋12＋42 c a ＝－13. 所以 · ＋ · ＋ · ＝ 2 答案：－13 7．已知|a|＝3 2，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λ b，〈a，b〉＝ 135°，m⊥n，则 λ ＝ ． 解析：由 m⊥n， 得(a＋b)·(a＋λ b)＝0， 所以 a2＋(1＋λ )a·b＋λ b2＝0， 所以 18＋(λ ＋1)·3 2×4cos 135°＋16λ ＝0， 3 即 4λ ＋6＝0，所以 λ ＝－ . 2 3 答案：－ 2 如图，已知正三棱柱ABC A B C  的各条棱长都相等，M 是侧棱 CC  的中点，则异面直线 1 1 1 1 AB 和 BM 所成的角的大小是 ． 1 答案：90° 三、解答题 已知在四面体 OACB 中，OB＝OC， AB＝AC，求证：OA⊥BC. 证明：因为 OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA， 所以△OAC≌△OAB. 所以∠AOC＝∠AOB. 因为→OA·→BC＝→OA·(→OC－→OB)＝→OA·→OC－→OA·→OB＝|→OA||→OC|·cos∠AOC－|→OA||→OB|·cos ∠AOB＝0， 所以⊥→OA 所以 ⊥ →BC OA⊥BC. ，所以如图，正三棱柱 ABC A B C 中，底面边长为 2. ，所以 1 1 1 设侧棱长为 1，求证：AB ⊥BC ； 1 1 设 AB 与 BC π 1 1 的夹角为 3 ，求侧棱的长． - → → → → → 证明：AB ＝AB＋BB ，BC ＝BB ＋BC. 1 1 1 1 因为 BB ⊥平面 ABC， 1 - → → → 所以BB ·AB＝0，BB ·BC＝0. 1 1 又△ABC 为正三角形， - → → → π 2π 所以〈AB，BC〉＝π －〈BA，BC〉＝π － 3 ＝ 3 . - → → → → → → → → → → → → → → 因为AB ·BC ＝(AB＋BB )·(BB ＋BC)＝AB·BB ＋AB，BC＋BB 2＋BB ·BC＝|AB|·|BC|·cos 1 1 1 1 1 1 1 - → → 〈AB·BC〉＋BB 2＝－1＋1＝0， 1 所以 AB ⊥BC . 1 1 - → → → → → → → 解：结合(1)知AB ·BC ＝|AB|·|BC|·cos〈AB，BC〉＋BB 2＝BB 2－1. 1 1 - →（ - → （AB＋BB ）2 1 又|AB |＝ ＝ 1 → 1 1 →2＋ → 2＋BB 2 1 ＝|BC |， 1 - → BB 2－1 1 所以 cos〈AB ，BC 〉＝ 1 ＝ . 1 1 → 2 2＋BB 2 1 → 所以|BB |＝2，即侧棱长为 2. 1 B 级 能力提升 已知空间向量 a，b，c，两两夹角为 60°，其模都为 1，则|a－b＋2c|＝( ) 56A. B．5 C．6 D. 5 6 解析：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，〈