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习题2-1
判断下列方程是否为恰当方程，并旦对恰当方程求解：
1 . (3尸 一 1)公 +(2工+1用=0
解：P(x, y) = 3 (2 _ ], Q(x9 y) = 2x + l,
则明=0, de = 2,所以op 手a 。即，原方程不是恰当方程.
dy dx dy dx
2 . (jv + 2y) dx + (2x + y) dy = 0
解：P (x, y) = x + 2y, Q(x, y) = 2x- y,
则% = 2,乎=2,所以¥ =性，即原方程为恰当方程
dy dx dy dx
则 xdx + (ly dx + 2xdy) 一 y dy = 0,
X~ y2
两边积分得：2 +2个一；=C
3. (ax + by) dx + (hx + cy) dy = 0 (a,b 和 c 为常数).
解：P (x, y) = ax + by, Q(x, y) = + cy,
则洲=/Q =b,所以 * = 3Q ,即原方程为恰当方程
dy dx dy dx
则 axdx + (by dx + bxdy + cy dy = 0,
2 2
两边积分得：ClX +bxy +Cy =C.
2 2
4. (ax - by) dx + (bx - cy) dy = 0 (b 0)
解：P (x, y) = ax-by, Q(x, y) = bx - cy,
则O' = b,3Q =b,因为 人壬0,所以即，原方程不为恰当方程
dy dx dy dx
5 . (r2 +1) cos udu + 2 r sin udt = 0
解：P (t,u) = (t2 + l)cosw, Q(t,u) = 2rsinw
则dP = 2fcosw, dQ = 2rcosw,所以dP = dQf 即 原方程为恰当方程
dt dx dy dx
则(t2 cosudu + 2tsin udt) + cosudu = 0,
两边积分得：(尸+l)sin 〃 = C.
6 . (y ex + 2ex + y2 ) dx + (ex + 2xy) dy = 0
解：P(x, y = y ex + 2ex + y 2, Q(x, y) = ex + 2xy ,
则dP =ex +2y, dQ=ex +2y,所以dP = dQ，即 原方程为恰当方程
dy dx dy dx
则 2b dx + ()，/ + y2 ) dx + (/ + 2xy) dy] = 0,
两边积分得：(2 + y) eK +xy2 =C.
7 . (^ + x2) dx + (Inx-2y) dy = 0
x
解：P (x9y) =y +x2 Q(x9y) = \nx-2y,
x
3P i (\n i ap a。
则：==二所以 ：，即原方程为恰当方程
oy x dx x dy ox
则 ()公 + In xdy) + x2dx- 2y dy = 0
x
两边积分得： +y \nx-y2 = C.
3
8 . (ax2 +by 2) dx-^-cxy dy = 0 (o,。和c为常数)
解：P (x9y) = ax2 +by 2, Q(x, y) = cxy,
则dP = 2by, dQ = cy,所以 当"祟。，即2b = c肘，
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