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抽象代数基础丘维声答案 【篇一：index】 t>------关于模 n 剩余类环的子环和理想的一般规律 [文章摘要] 通过对模 n 剩余类的一点思考，总结出模 n 剩余类环的子环和理想 的规律：所有理想为主理想，可以由 n 的所有因子作为生成元生成， 且这些主理想的个数为 n 的欧拉数。使我们得以迅速求解其子环和 理想。 [关键字] 模 n 剩余类环循环群 子环主理想 [正文] 模 n 剩余类是近世代数里研究比较透彻的一种代数结构。一，定义： 在一个集合 a 里，固定 n（n 可以是任何形式），规定 a 元间的一个关系 r， arb，当而且只当 n|a-b 的时候 这里，符号 n|a-b 表示 n 能整除 a-b。这显然是一个等价关系。这个等价关系普通叫做模 n 的同余关系，并且用 a?b(n) 来表示（读成 a 同余 b 模 n）。 这个等价关系决定了 a 的一个分类。这样得来的类叫做模 n 的剩余类。 二，我们规定 a 的一个代数运算，叫做加法，并用普通表示加法的符号来表示。我们用[a]来表示 a 所在的剩余类。规定： [a]+[b]=[a+b]; [0]+[a]=[a]; [-a]+[a]=[0]; 根据群的定义我们知道，对于这个加法来说，a 作成一个群。叫做模 n 剩余类加群。 这样得到的剩余类加群是循环群，并且[1]是其生成元，[0]是其单位元。 三，我们再规定 a 的另一个代数运算，叫做乘法，并且规定： [a][b]=[ab]； 根据环的定义我们知道，对于加法和乘法来说，a 作成一个环。叫做模 n 剩余类环。 四，关于理想的定义： 环 a 的一个非空子集 a 叫做一个理想子环，简称为理想，假如： (i) a,b?a?a-b?a； (ii)a?a,b?a?ba,ab?a； 所以如果一个模 n 剩余类环 a 的子环 a 要作为一个理想，需要满足： (i) [a],[b]?a?[a-b]?a； (ii)[a]?a,[b]?a?[ba],[ab]?a； 由以上四点可得到对一个模 n 剩余类环，求其所有子环和理想的一个方法。 思路： 第一，模 n 剩余类环对加法构成加群，根据群的定义，找出所有子群； 第三，对所有子群，根据环的定义，对乘法封闭，从所有子群里找 出所有环； 第四，对所有子环，根据理想的定义，找出所有理想。例题:找出模 12 的剩余类环的所有理想。 具体步骤： 第一步： 模 12 剩余类环所有元素的集合： z12={[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]} 找其对加法构成加群的子群，并因为其对加法构成的子群是循环群， 所以用生成元表示： ([0])={[0]}; ([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}= z12; ([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]}; ([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]}; ([4])=([8])={[0],[4],[8]}; ([6])={[0],[6]}; 第二步： 考虑对乘法的封闭性，求其子环： ([0])={[0]}; ([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}= z12; ([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]}; ([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]}; ([4])=([8])={[0],[4],[8]}; ([6])={[0],[6]}; 第三步： 根据理想的定义，对以上的子环，求其理想： ([0])= ([12])={[0]}; ([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}= z12; ([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]}; ([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]}; ([4])=([8])={[0],[4],[8]}; ([6])=([6])={[0],[6]}; 解答完毕。 通过观察以上的例子我们发现以下特点： (i) 模 12 剩余类环的所有对加法构成的子群，等于所有子环，等于所有理想; (ii) 所有的子群（对加法）是循环群，所有的理想是主理想； 第一列的所有生成元都是 12 的因子； 第二列的所有生成元可表示为[12-pm],其中 pm 为 12 所有的因子. 于是我们有以下结论： 模