圆与方程预习提纲.docx

- - PAGE 10 - 圆与方程预习提纲 圆的标准方程： 圆的一般方程： 直线与圆的位置关系的判断： 圆与圆的位置关系的判断： 圆与方程教案 例 1：已知两点 P （4，9）和 P （6，3），求以 P P 为直径的圆的方程，并且判断点 1 2 1 2 M（6，9），N（3，3），Q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外。 例 2：圆 x2 + y2 ＝4 与圆（x－3）2 +（y－4）2 ＝16 的位置关系。 例 3：求以 C（1，3）为圆心，并且和直线 3x－4y－7=0 相切的圆的方程. 例 4：过点 A（3，1）和 B（－1，3），且它的圆心在直线 3x－y－2＝0 上的圆的方程。 例 5：求半径为 10，和直线 4x＋3y－70＝0 切于点（10，10）的圆的方程。 0 0例 6：已知圆的方程是 x2+y2=r2，求经过圆上一点 M（x ， y ）的切线的方程 0 0 例 7：求过点 A（2，4）向圆 x2 + y2 ＝4 所引的切线方程。 例 8：两直线分别绕 A（2，0），B（－2，0）两点旋转，它们在 y 轴上的截距 b，b′的乘积 bb′＝4，求两直线交点的轨迹。 例 9：已知一圆与 y 轴相切，圆心在直线 l：x－3y = 0 上，且被直线 y＝x 截得的弦 AB 长为 72 ，求圆的方程。 7 例 10：求过三点 O（0，0）、M （1，1）、M （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心 1 2 坐标. 1 例 11：已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为 2 的点的轨迹，求此曲线 的方程，并画出曲线. 例 12：已知曲线C：（1＋a）x 2＋（1＋a）y 2－4x＋8ay＝0，（1）当a 取何值时，方程表示圆； （2）求证：不论 a 为何值，曲线 C 必过两定点；（3）当曲线 C 表示圆时，求圆面积最小时 a 的值。 例 13：已知圆 x2 + y2＝1，求过点 P（a，b）的圆的切线方程。 例 14：已知圆方程为 x2 + y2－4x－2y－20＝0，（1 4 ）斜率为－3 的直线 l 被圆所截线段长 为 8，求直线方程；（2）在圆上求两点 A 和 B，使它们到直线 l：4x＋3y＋19＝0 的距离分别取得最大值或最小值。 例 15：自点 A（－3，3）发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆 x2 + y2－4x－4y＋7＝0 相切，求光线 l 所在直线的方程。 圆与方程教案 例 1：已知两点 P （4，9）和 P （6，3），求以 P P 为直径的圆的方程，并且判断点 1 2 1 2 M（6，9），N（3，3），Q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外。 解：根据已知条件，圆心 C（a，b）是 P P 的中点，那么它的坐标为： 1 2 a 4＋6 9＋3 ＝ 2 ＝5，b＝ 2 ＝6 再根据两点的距离公式，得圆的半径是： 10r＝︱CP ︱＝ （4－5）2 +（9－6）2 ＝ 10 1 1010∴所求圆的方程是：（x－5）2 +（y－6）2 ＝10 10 10 10∵︱CM︱＝ 10 ，︱CN︱＝ 13 ＞ ，︱CQ︱＝3＜ ∴点 M 在圆上，点 Q 在圆内，点 N 在圆外. 例 2：圆 x2 + y2 ＝4 与圆（x－3）2 +（y－4）2 ＝16 的位置关系。解：∵圆心距＝5＜r ＋r ＝6 1 2 ∴两圆相交 例 3：求以 C（1，3）为圆心，并且和直线 3x－4y－7=0 相切的圆的方程. 解：因为圆 C 和直线 3x－4y－7=0 相切，所以半径 r 等于圆心 C 到这条直线的距离. 3 3 ?1 ? 4 ? 3 ? 7 32 ? (?4)2 根据点到直线的距离公式，得r ? 因此，所求的圆的方程是(x ? 1)2  ? ( y ? 3)2 ? 5 ? 256 . 25 说明：例 3 中用到了直线和圆相切的性质，即圆心与切点连线垂直于切线且等于半径. 例 4：过点 A（3，1）和 B（－1，3），且它的圆心在直线 3x－y－2＝0 上的圆的方程。解：设圆的方程为 （x－a）2 +（y－b）2 ＝r 2 则：（3－a）2 +（1－b）2 ＝r 2，（－1－a）2 +（3－b）2 ＝r 2，3a－b－2 ＝0解法二：线段 AB 的中点坐标是（1，2） 3－1 1 则 k ＝ ＝－ AB －1－3 2 所以，线段 AB 的垂直平分线方程为： y－2＝2（x－1） 即：2x－y＝0 ?2x－y＝0 由? ?3x－y－2＝0 得圆心坐标为 C（2，4）， 又 r＝︱AC︱＝ 10 ∴圆的方程是：（x－2）2 +（y－4）2 ＝10 例 5：求半径为 10，和直线 4x＋3y－70＝0 切于点（10，10