2015年上海市高考数学理科试卷详解版.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试 上海数学试卷（理工农医类） 一. 填空题（本大题共有14题，每题4分，满分56分） 1. 设全集，若集合，，则 ； 2. 若复数满足，其中为虚数单位，则 ； 3. 若线性方程组的增广矩阵为，解为，则 ； 4. 若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则 ； 5. 抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则 ； 6. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为 ； 7. 方程的解为 ； 8. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 ；（结果用数值表示） 9. 已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的2倍，和的轨迹分别为双曲线和，若的渐近线方程为，则的渐近线方程为 ； 10. 设为，的反函数，则的最大值为 ； 11. 在的展开式中，项的系数为 ；（结果用数值表示） 12. 赌博有陷阱，某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有、、、、的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）；若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 元； 13. 已知函数，若存在，，…，满足，且，则的 最小值为 ； 14. 在锐角三角形中，，为边上的点，△与△的面积分 别为2和4，过作于，于，则 ； 二. 选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 15. 设、，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 16. 已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 17. 记方程①：；方程②：；方程③：；其中、、是正实数，当、、成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是（ ） A. 方程①有实根，且②有实根 B. 方程①有实根，且②无实根 C. 方程①无实根，且②有实根 D. 方程①无实根，且②无实根 18. 设是直线与圆在第一象限的交点，则极 限（ ） A. B. C. D. 三. 解答题（本大题共有5题，满分74分） 19.（本题满分12分）如图，在长方体中，，，、分别是棱、的中点，证明、、、四点共面，并求直线与平面所成角的大小； 20.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，、、三地有直道相通，千米，千米，千米；现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）；甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时；乙到达地后在原地等待，设时，乙到达地 （1）求与的值； （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米； 当时，求的表达式，并判断在 上的最大值是否超过？说明理由； 21.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点、和、；记得到的平行四边形的面积为 （1）设，，用、的坐标 表示点到直线的距离，并证明； （2）设与的斜率之积为，求面积的值； 22.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 已知数列与满足， （1）若，且，求的通项公式； （2）设的第项是最大项，即，求证的第项是最大项； （3）设，，求的取值范围，使得有最大值与最 小值，且 23.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期；已知是以为余弦周期的余弦周 期函数，其值域为，设单调递增，，； （1）验证是以为余弦周期的余弦周期函数； （2）设，证明：对任意，存在，使得； （3）证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有； 2015年普通高等学校招生全国统一考试 上海数学试卷（理工农医类） 一. 填空题（本大题共有14题，每题4分，满分56分） 1. 设全集，若集合，，则 ； 【解析】或，∴ 【答案】 2. 若复数满足，其中为虚数单位，则 ； 【解析】设，∴，即，，