基本不等式测试题苏教版必修.docx

基本不等式测试题 组 一．填空题(本大题共 8小题，每题 5分，共 40分) 1.若xy>0,则 x y 。 y 的最小值是 x x y x y 1.2.提示： ≥2 y g=2. y x x 2.已知a，b都是正数，则 a＋b 、 a2＋b2 的大小关系是 。 2 2 a＋b a2＋b2 2 可得。 2. ≤ 。提示：平方作差，利用 a2+b≥2ab 2 2 3.若x＋y＝4，x＞0，y＞0，则lgx＋lgy的最大值是 。 3.lg4.提示：lgx＋lgy=lgxy≤lg( xy)2=lg4. 1 2 2 4.已知 1(m0,n 0),则mn的最小值是 m n 4. 2 2。提示：1 1 2 2 2 mn2 2。 m n mn 5.已知：2x 2y 6， 则 2xy的最大值是＿＿＿ 5.9.提示：6=2x 2y≥2· 2xg2y ，∴2xg2y≤9 。 故2x y的最大值是 9，此时x=y=log23。 某企业租地建库房，每个月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每个月库存货物的 运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站 10 公里处建库房，这两项费用 y1和y2分别 为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，库房应建在离车站 __________公里处 6.8.提示 由已知y1 20 ；y2 8x(x为库房与车站距离 )， x 费用之和y=y1+y2=0 8x+20≥2 0.8x 20 =8，当且仅当0 8x=20即x=5时“=” x x x 建立。 x、y xy x y 3 xy 7. 知足 ，则 的范围是 。 已知正数 7. [9, )。提示：由 x 0,y 0 ，则xy xy3 xy 3 xy 2 xy，即 ( xy)2 2 xy 30解得 xy 1(舍)或xy 3，当且仅当x y且xy x y3即 x y 3时取“=”号，故xy的取值范围是[9, ) 。 给出下列命题： ①a,b都为正数时,不等式a+b≥2ab才建立。 ②y=x+ 1 的最小值为2。 x 2(0 ③y=sinx+ x )的最小值为22. sinx 2 2 16x3 2 取最小值512。 ④当x>0时，y=x+16x≥2 ,当x＝16x时，即x=16,y 其中错误的命题是 。 8.①②③④。提示： ①a+b≥2 ab建立的充要条件是a 0,b0； ②当x>0,y=x+  1 x  ≥2;当x<0时,y=x+1 =-(-x- 1)≤-2 (x)(1)=-2; x x x ③y=sinx+ 2≥22，等号建立的条件是 sinx＝ 2，即sinx＝ 2， sinx sinx 而当0x 2  时，0<sinx≤1，故等号不建立，y的最小值可经过单一性的定义判断 y=t+ 2 上单一递减，进而 2 =3; t min 1 ④“2 16x3”不是定值，因此该命题也不对。 y=x 2+16x在x (0, )单一递增，无最 小值。 二．解答题(本大题共4小题，共 54分) 9.已知: 在ABC中, ∠A,∠B,∠C，的对边分别是 a,b,c，则求知足下列条件的∠ B的 范围分别是什么。 ⑴若a=2,b=1。 ⑵若b2 ac。 a2 c2 b2 41c2 = 1(c 3) 1 3c 3 9.解：⑴∵cosB= 2ac 4c 4 g2 2 4 c c 故∠B取值范围分别是 (0,]。取等号时 c= 3 . 6 a2 c2 b2 a2 c2 ac 2ac ac 1 ⑵∵cosB= = 2ac 2ac 2 2ac 故∠B取值范围分别是 (0,]. 取等号时a=c. 3 10．已知直角△ABC中，周长为L，面积为S，求证：4S≤(3 2 2)L2. 10．设直角△ABC的两直角边为 x，y，则斜边为 x2 y2，S= 1 xy，∴L=xy x2 y2 2 ≥2 xy 2xy22S 2 S ∴4S≤ L2 1)2 (3 22)L2 (2 11.已知正数x,y知足x 2y 1,求 1 1 的最小值有如下解法： x y 解：∵x 2y 1且x 0,y 0. ∴1 1 ( 1 1 )(x 2y) 2 1 2 2 xy 4 2 x y x y xy ∴(1 1)min 4 2. x y 判断以上解法是否正确？说明原因；若不正确，请给出正确解法． 解：错误. ∵1 1 2 1 ①等号当且仅当x y时建立，又∵x 2y 2xy② x y xy 等号当且仅当 x 2y时建立，而①②的等号同时建立是不可能的. 正确解法：∵x 2y1 且x 0,y 0. ∴11 (11)(x2y)3 2yx 322y x 322， x y x y x y x y 当且仅当2y x，即x x 2 1 2y，又x 2y 1，∴这时 2 2 x y y 2 ∴(1 1)min 3 2 2． x y