类域论的早期历史研究.pdf

摘 要 类域论是研究数域上阿贝尔扩张的理论，是20世纪代数数论的重要成就。 类域论始于克罗内克1853年的猜想，其后经希尔伯特、富特温勒、高木贞治和 阿廷等数学家的努力，于20世纪三十年代发展成熟，并在诸多方面得到推广。 本文在研读大量相关研究文献和原始文献的基础上，运用概念分析、编年史 和文献分析等方法，以类域论的早期历史发展为线索，探究了类域论的开端，梳 理了“类域”概念的演变，对数学家们的思想来源、所作的工作以及产生的影响 进行了分析和探究。同时，重点研究了富特温勒在互反律、类域和主理想定理等 方面的工作及影响，肯定了其在类域论早期历史发展中承前启后的地位。所取得 的主要结果和结论为： 1. 探究了类域论的开端。克罗内克首次提出了“类域”的思想，并将其具 化为一个数学概念——相伴种类。之后，韦伯首创“类域”这一术语来表示相伴 种类，并推广了它的定义。希尔伯特在“代数数域理论”中，重新定义了“类域”， 并于1898年提出了一系列关于数域上阿贝尔扩张的猜想，这些猜想是类域论基 本定理的雏形。 2. 考察了富特温勒的人生经历及其在推动类域论发展方面所作的工作。德国 数学家富特温勒致力于数论的研究，尤其在希尔伯特猜想方面取得了很多重要成 20 9 果。他于 世纪初开始研究希尔伯特第 问题，将希尔伯特提出的二次互反律 推广到奇素数次幂、准素理想、奇素指数幂甚至奇素幂指数上，部分地解决了希 9 1907 1911 尔伯特第 问题。 — 年，他给出了希尔伯特猜想的一般性证明，证明了 绝对类域的存在性、分解定理和同构定理等，为高木贞治建立类域论奠定了基础。 1930年，基于阿廷的群理论，富特温勒证明了主理想定理，解决了类域论中遗留 30 多年的难题。 3. 分析了高木贞治建立类域论的过程。在希尔伯特和富特温勒等人的研究基 础上，高木贞治重新定义了类域，在阿贝尔扩张与基域的理想类群之间建立了联 系，提出了关于类域论的基本定理，从而创立了一门新的理论体系——类域论。 4. 探讨了阿廷、哈塞和谢瓦莱在简化和推广类域论方面所作的工作。阿廷引 入阿廷互反律，简化了类域论基本定理的证明。哈塞运用局部—整体原则，探究 III 了局部类域论。谢瓦莱引入伊代尔的概念，研究了伊代尔的拓扑性质，并借助伊 代尔将类域论完全算术化。 5. 介绍了类域论的后续发展。类域论作为代数数论的重要分支有着强大的生 命力，最初类域论只局限于解决数域上的阿贝尔扩张问题，但随着数论体系的逐 步完善，数学家们深入研究发现函数域上的类域论也是成立的，甚至可以拓展到 非阿贝尔扩张。 关键词：类域论；类域；菲利普 ·富特温勒；主理想定理；互反律 IV 目 录 中文摘要III 英文摘要V 引言 1 0.1 选题的背景及意义1 0.2 文献综述2 0.3 拟解决的问题5 0.4 论文的框架结构6 第一章 类域论的产生9 1.1 类域论的开端9 1.2 “类域”概念的演变11 1.2.1 克罗内克提出 “相伴种类”12 1.2.2 韦伯首创 “类域”12 1.2.3 希尔伯特发展 “类域”14 1.2.4 高木贞治重新定义 “类域”15 1.3 希尔伯特猜想及影响15 第二章 类域论的发展 19 2.1 富特温勒的生平19 2.2 互反律的推广22 2.2.1 互反律的起源22 2.2.2 二次互反律的发展23 2.2.3 任意准素理想上的互反律26 2.2.4 指数为奇素数的互反律27 2.2.5 指数为奇素数幂的互反律29 2.3 绝对类域的存在性31 2.3.1 绝对类域性质的证明32 2.3.2 绝对类域的分解定理36 2.4 类域塔37 2.5 富特温勒的影响3