第六讲幂级数.ppt

例4. 解: 设 则 第三十一页，共五十六页，2022年，8月28日 而 故 第三十二页，共五十六页，2022年，8月28日 内容小结 1. 求幂级数收敛域的方法 1) 对标准型幂级数 先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 . 2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式) 求收敛半径时直接用比值法或根值法, 2. 幂级数的性质 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与 也可通过换元化为标准型再求 . 乘法运算. 2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续; 3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分. 第三十三页，共五十六页，2022年，8月28日 第四节 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第十一章 第三十四页，共五十六页，2022年，8月28日 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 其中 ( ? 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 则在 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 : 第三十五页，共五十六页，2022年，8月28日 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 第三十六页，共五十六页，2022年，8月28日 定理1 . 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: 证明: 令 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 第三十七页，共五十六页，2022年，8月28日 定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 显然结论成立 . 第三十八页，共五十六页，2022年，8月28日 二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 是否为 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 0. 的函数展开 第三十九页，共五十六页，2022年，8月28日 例1. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 故 (? 在0与x 之间) 故得级数 第四十页，共五十六页，2022年，8月28日 例2. 将 展开成 x 的幂级数. 解: 得级数: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 第四十一页，共五十六页，2022年，8月28日 第一页，共五十六页，2022年，8月28日 (2)幂级数的收敛半径与收敛域 任何幂级数在0都收敛。 由例1知其收敛域是一个区间。 第二页，共五十六页，2022年，8月28日 定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 在 的一切 x , 该幂级数也发散 . 点发散 , 则对满足不等式 发 散 发 散 收 敛 收敛 发散 第三页，共五十六页，2022年，8月28日 阿贝尔(1802 – 1829) 挪威数学家, 近代数学发展的先驱者. 他在22岁时就解决了用根式解5 次方程 的不可能性问题 , 他还研究了更广的一 并称之为阿贝尔群. 在级数研究中, 他得 到了一些判敛准则及幂级数求和定理. 论的奠基人之一, 他的一系列工作为椭圆函数研究开 拓了道路. 数学家们工作150年. 类代数方程, 他是椭圆函数 C. 埃尔米特曾说: 阿贝尔留下的思想可供 后人发现这是一类交换群, 第四页，共五十六页，2022年，8月28日 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M > 0, 使 当 时, 收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 第五页，共五十六页，2022年，8月28日 下面用反证法证之. 假设有一点 满足 且使级数收敛 , 级数在点 的 x , 原幂级数也发散 . 则对一切满足不等式 则由前可知 也应收敛, 与所设矛盾。 证毕 设 发散, 第六页，共五十六页，2022年，8月28日 界 点 讨论：在界点处函数项级数是否有相同敛散性？ 答：在界点处级数可能收敛，也可能发散，在两个界点处的敛散性