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二、牛顿-拉夫逊法潮流计算
2.1牛顿-拉夫逊法原理
牛顿拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法。这种方法的要点就是把对非线
性方程的求解过程变为反复对相应的线性方程求解的过程,通常称为逐次线性化过程,这是牛顿拉夫逊法的核心。为容易理解牛顿-拉夫逊法的解算方法,这里从一维非线性方程式的解来阐明它的意义和推导过程,而后推广到n维变量的一般情况。
1. 牛顿-拉夫逊法的意义和推导过程
设一维非线性方程为
fx=0
对于它的解x,假设其初始值为x(0),这和真解之间的误差为?x(0),如果能找到这样的?
x=??(0)x(0)-?x(0)
式中:x——真解;
x(0)——
?x(0)——解的修正
若将?x(0)代入式(
fx=f
把fx按泰勒级数在x
f
如果选择的初始值x(0)很接近于真解,即误差值?x(0)很小时,
项和更高次项都可以略去不计。因此上式可简化为
fx0-fx
这是对于修正量?x0的线型方程式,又称为
后的简化方程式,因而按修正方程所解出的?x(0)是近似值。从式(2-3
?x
于是,非线性方程的解为
x
这是一次迭代后的值, 显然是近似解, 但它已向真解逼近了一步。
再以x1作为初始值,代入式(2-3
?x
进而又可得第二次迭代后的值x2
x
更近于真解。这样继续迭代下去,直至满足?xk≤ε(精度)时
2. 牛顿拉夫逊法的特点
1)牛顿拉夫逊法是迭代法,是逐渐逼近的方法。
2)修正方程是线性化方程,它的线性化过程体现在把非线性方程在x0按泰勒
开,并略去高阶小量。
3)用牛顿-拉夫逊法解题时,其初始值要求严格(较接近真解),否则迭代不收敛。
3.多变量非线性方程的解
设有n维非线性方程式组如下:
f1x1,x2
假设各变量的初始值为x1(0),x2(0),···,xn(0),并另?x1(0),?x2(0),···,?xn(0)分别为各变量的修正量,对以上n个方程式在初始值[
(2-6)
写成矩阵的形式
(2-7)
这是修正量?x1(0),?x2(0),···,?x
(2-8)
再将式(4-28) 所得出的第一次迭代结果x1(1),x2(1)
(2-9)
缩写为
(2-10)
式(4-10)中,J称为雅可比矩阵。
同样,式(4-8)对应第K次迭代后也可缩写为
(2-11)
这样反复求解式(4-10)、式(4-11),就可以使xk+1逐步逼近于真解,直至满足?X(k)≤ε(精度),即对应的X
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