2023.03.12---冲刺中考：胡不归中的模型与最值问题 讲义+基础训练+提示训练... （附Word）.docx

胡不归中的模型与最值问题 【模型说明】 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”） 【模型引入】 而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？ 如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小． ，记， 即求BC+kAC的最小值． 构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC． 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型． 【模型讲解】 1、如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是_______． 【分析】本题关键在于处理“”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为，，故作DH⊥AB交AB于H点，则．本号资料皆来源于微信公众号：数学第六感 问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时． 【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下： 则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在． 2、如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 【分析】 考虑如何构造“”，已知∠A=60°，且sin60°=，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，即可得，将问题转化为：求PB+PH最小值． 当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长． 3、如图，已知抛物线（k为常数，且k>0）与轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D． （1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？ 【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A（-2,0），B（4,0），直线解析式为，D点坐标为，故抛物线解析式为，化简为：．另外为了突出问题，此处略去了该题的第二小问． 点M运动的时间为，即求的最小值． 接下来问题便是如何构造，考虑BD与x轴夹角为30°，且DF方向不变，故过点D作DM∥x轴，过点F作FH⊥DM交DM于H点，则任意位置均有FH= 当A、F、H共线时取到最小值，根据A、D两点坐标可得结果． 4、抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问） 【分析】根据抛物线解析式得A、B、C， 直线AC的解析式为：，可知AC与x轴夹角为30° 根据题意考虑，P在何处时，PE+取到最大值． 过点E作EH⊥y轴交y轴于H点， 则∠CEH=30°，故CH=， 问题转化为PE+CH何时取到最小值． 考虑到PE于CH并无公共端点，故用代数法计算，设， 则，，，， 当P点坐标为时，取到最小值，故确定P、C、求四边形面积最小值，运用将军饮马模型解题即可． 5、在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值． 【解析】 (1)将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为， ∵，∴点的坐标为， 代入抛物线的解析式得，，∴， ∴抛物线的解析式为，即． 令，解得，，∴， ∴， ∵的面积为5，∴，∴