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惯性定理正定二次型 第一页，共二十八页，2022年，8月28日 6.3 惯性定理和二次型的规范形 定理6.3(惯性定理) 对于一个n元二次型xTAx，不论做 怎样的坐标变换使之化为标准形，其中正平方项的项 数p和负平方项的项数q是由A唯一确定的。 或者说, 对于实对称矩阵A，不论取怎样的可逆矩阵C,只要使 CTAC=?= diag(d1, ?,dp,? dp+1, ?,? dp+q, 0,?,0) 其中，di>0 (i=1, ?,p+q), p+q?n 成立，则p和q是由A唯一确定的。 第二页，共二十八页，2022年，8月28日 证： 因此，只需证明p由A惟一确定. 由秩(A)=秩(CT A C)= p+q, 知 p+q 由A唯一确定. 设实二次型 f=xT A x ,经由坐标变换 设p+q=r(A)=r, x=By 和 x=Cz ① (B,C都可逆)分别化为标准形： f= b1y12+?+ bp yp2 ? bp+1 yP+12-? ?br yr2 ② f =c1 z12+?+ ct zt2 ? ct+1 zt+12 ? ? ? cr zr2 ③ (bi, ci>0, i=1, ?,r) 要证正平方项的项数是唯一的. 即要证明：p = t. 第三页，共二十八页，2022年，8月28日 用反证法：假设 p>t，此时由②和③可得 f= b1y12+? +bt yt2 + bt+1yt+12+ ?+ bpyp2 ? bp+1yp+12?? ? br yr2 = c1z12+?+ ct zt2 ? ct+1 zt+12? ? ? cp zp2 ? cp+1 zp+12? ? ? cr zr2 ④ 由① z =C?1x=(C ?1B) y = Dy（其中D= C?1B），即 ⑤ 第四页，共二十八页，2022年，8月28日 为了从④式中找到矛盾，令 z1=z2=?=zt=0, yp+1=?=yn=0,代入⑤式,得到y1,y2,…,yn的线性方程组 ⑥ 齐次线性方程组⑥有 n个未知量，但方程个数为 t+(n ? p)=n ?(p ? t)<n,故必有非零解。 第五页，共二十八页，2022年，8月28日 由于 yp+1=?=yn=0, 故⑥式非零解中y1,y2,?,yp 不全为零 将它们再代入④式得 f = b1y12+? +bt yt2+bt+1yt+12+ ?+ bpyp2 >0 ⑦ 将⑥的非零解代入⑤式得到 z1,…,zt,…,zn 的一组值 (其中 z1=z2=?=zt=0) 将它们再代入④式，又得 f= ? ct+1 zt+12 ? ? ?cp zp2 ? ? ? cr zr2?0 ⑧ ⑦,⑧二式显然是矛盾的，故假设的p>t不能成立. 同理可证 t? p，得 p=t。 故 p 和 q= r? p 是由A唯一确定的。 第六页，共二十八页，2022年，8月28日 定义6.3 二次型 xTAx 的标准形中，正平方项项 数 p 称为二次型(或矩阵A) 的正惯性指数；负平方项 项数 q=r? p称为二次型(或矩阵A) 的负惯性指数； 正负惯性指数的差 p? q=2 p? r 称为符号差。 秩(A)=r 也叫二次型的秩。 推论 设 A为 n 阶实对称矩阵，正、负惯性指数分别为 p 和 q，则 A ? diag(1, ?,1, ?1, ?,?1, 0,?,0). 其中1有p个, ?1有q个, 0 有n ?(p+q)个。 换句话说， 第七页，共二十八页，2022年，8月28日 对于二次型 xTAx 存在坐标变换 x=Cy ，使得 xTAx =y12+?+ yp2 ? yp+12-? ? yr2 (r= p+q) 上式右端称为 xTAx 的规范形。 推论之证明: 由定理6.2~6.3知 ,存在 可逆矩阵C1, 使 C1TAC1= diag(d1, ?,dp,? dp+1, ?,? dp+q, 0,?,0) 其中di>0(i=1, ?,p+q)。 取可逆阵 第八页，共二十八页，2022年，8月28日 则 则 CTA C= diag(1, ?,1, ?1, ?,?1, 0,?,0) 若n阶实对称矩阵A 与B 合同，也称对应的二次型 xT A x 和 xT B x 合同。 注意：一个实对称矩阵A的合同规范形是唯一的。 1)两个n阶实对称