经济数学-微分方程的基本概念.pptxVIP

第一节 微分方程的基本概念一、问题的提出二、微分方程的定义三、主要问题—求方程的解四、小结 思考题第一页，共二十六页。引言对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.－－－－傅里叶微积分研究的对象是函数关系,但在实际问题中,往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系,却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系,从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程,即微分方程.通过求解这种方程,同样可以找到指定未知量之间的函数关系.因此,微分方程是数学联系实际,并应用于实际的重要途径和桥梁,是各个学科第二页，共二十六页。进行科学研究的强有力的工具.如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”,那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题.例如,物体的冷却、琴弦的振动、电磁波的传播等,都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.第三页，共二十六页。微分方程是一门独立的数学学科,有完整的理论体系.本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念,几种常用的微分方程的求解方法,线性微分方程解的理论.第四页，共二十六页。一、引例解由题有且满足：第五页，共二十六页。解第六页，共二十六页。代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需第七页，共二十六页。二、基本概念微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程， 叫做微分方程.例实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.第八页，共二十六页。分类1: 常微分方程, 偏微分方程.我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.未知函数为多元函数的微分方程称为类似地,偏微分方程.例如方程是偏微分方程.第九页，共二十六页。微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数.分类2:一阶微分方程高阶微分方程第十页，共二十六页。常微分方程的一般形式是:是未知函数,其中为自变量,中,在方程必须出现,例如在阶微分方程中,而其余变量可以不出现,能从方程中其余变量都没有出现.如果的微分方主要是形如解出最高阶导数,就得到微分方程并且假设式右端的函数以后我们讨论的微分方程程,在所讨论的范围内连续.第十一页，共二十六页。其中和均为自变量的已则称方程为阶线性微分方程.分类3:线性微分方程.非线性微分方程.即微分方程中所含的未知函数及其各阶导数知函数.如果方程可表示为如下形式:否则统称为非线性微分方程.全是一次幂。第十二页，共二十六页。分类4: 单个微分方程与微分方程组.第十三页，共二十六页。因方程中含有的和都是一次.因方程中含有的例3试指出下列方程是什么方程,并指出微分方程的阶数.解(1)是一阶线性微分方程,(2)是一阶非线性微分方程,的平方项.第十四页，共二十六页。因方程中含有的函数和例3试指出下列方程是什么方程,并指出微分方程的阶数.(3)是二阶非线性微分方程,解的三次方.(4)是二阶非线性微分方程,因方程中含有非线性第十五页，共二十六页。三、求方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式 的函数.满足微分方程的解的分类：(1)通解: 微分方程的解中含有相互独立的任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.第十六页，共二十六页。(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.解的图像: 微分方程的积分曲线.通解的图像: 积分曲线族.初始条件: 用来确定任意常数的条件.第十七页，共二十六页。一阶:二阶:初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.过定点的积分曲线;过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.第十八页，共二十六页。将达解：第十九页，共二十六页。所求特解为第二十页，共二十六页。四、小结本节基本概念：微分方程；微分方程的阶；微分方程的解；通解;初始条件；特解；初值问题；积分曲线．第二十一页，共二十六页。思考题第二十二页，共二十六页。中不含任意常数,思考题解答故为微分方程的特解.第二十三页，共二十六页。练 习 题第二十四页，共二十六页。第二十五页，共二十六页。练习题答案第二十六页，共二十六页。