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相似矩阵
一、 相似矩阵的概念
定 义
A, B n P
设 都是 阶方阵,若有可逆矩阵 , 使
P1 AP B
B A A B
则称 是 的相似矩阵, 或说矩阵 与 相似
记作 A ~ B
A P 1AP A
对 进行运算 称为对 进行相似变换
P A B
其中可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵。
二、 相似矩阵的基本特质
（1）反身性 A A
（2 ）对称性 若A B ，则B A
（3 ）传递性 若 ， ，则 相似
A B B C A C
若 阶矩阵 与 相似，则 与 有
定 理 n A B A B
相同的特征多项式，从而有相同的特征值。
A B P
证明: 因 与 相似，所以有可逆矩阵 ,使
P 1 AP B
故 E B P 1 (E )P P 1 AP P 1 (E A)P
P 1 E A P E A
又特征值就是特征方程的根, 从而有相同的特征值.
推 论 n A diag(, , )
若 阶矩阵 与对角矩阵 1 2 n
相似，则 , , , 是 的 个特征值。
1 2 n A n
二、 相似矩阵的特质（续）
若A B ，则 （1）A B
r( A) r(B)
（2 ）
AT BT
（3 ）
A B -1 -1
（4 ）若 和 可逆，则 A B
（5 ）设 为常数，则 kA kB
k
（6 ）设f (x )表示多项式，则 f (A ) f (B )
例1. A A B A* B*
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