线性代数1-4、5-矩阵秩与初等变换.pptxVIP

§5矩阵的初等变换 教学目的：通过本节的教学使学生理解矩阵初等变换和初等方阵的概念,掌握矩阵初等变换、初等方阵的性质，会用矩阵的初等变换化矩阵为阶梯型、最简型和标准形. 教学要求：理解矩阵初等变换和初等方阵的概念,掌握矩阵初等变换、初等方阵的性质，会用矩阵的初等变换化矩阵为阶梯型、最简型和标准形. 教学重点：矩阵的初等变换和初等方阵的理论，会用矩阵的初等变换化矩阵为阶梯型、最简型和标准形. 教学难点：矩阵初等变换的理论和初等方阵的关系.第一页，共四十页。 矩阵的初等变换是矩阵论中最重要的变换手段，也是线性代数的一个重要工具，在求矩阵的秩、解线性方程组、求向量组的极大无关组及各向量间的线性关系、求逆矩阵以及化二次型为标准形等方面有着极其重要的应用。第二页，共四十页。一、消元法解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程．引例求解线性方程组第三页，共四十页。解第四页，共四十页。用“回代”的方法求出解：第五页，共四十页。于是解得（2）第六页，共四十页。（　 与 　相互替换）小结：1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（以　　　替换　）（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（以　　　替换　）第七页，共四十页。3．上述三种变换都是可逆的．　由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．第八页，共四十页。　因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．第九页，共四十页。二、矩阵的初等变换定义5 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换： (i).对调两行（对调i、j行，记作ri?rj）（换法变换）(ii).?以非0数k乘以某一行的所有元素； （第i行乘k，记作kri）（倍法变换）(iii).把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上 去（第i行的k倍加到第j行上，记作rj+ kri ）（消法变换） 第十页，共四十页。 把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用的记号分别为 ）。 矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为初等变换。 显然，每一种初等变换都是可逆的，并且其逆变换也是同一种初等变换。 第十一页，共四十页。　三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．初等变换逆变换第十二页，共四十页。矩阵A与矩阵B等价定义 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价(Equivalent)，记为A B。 第十三页，共四十页。根据定义不难证明，矩阵的等价满足下述性质：a) 反身性：A A；b) 对称性：若A B，则B A；c)传递性：若A B，而B C，则A C。(取k=1 作倍法初等变换即可)(初等变换都是可逆的)(将两次的初等变换合并到一起对A作用即可)具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价第十四页，共四十页。定理5.1 注: 任一个矩阵 都有标准形、且唯一（m,n,r三个数唯一确定，其中r就是行阶梯形 矩阵中非零行的行数）(证明过程见教材28页)第十五页，共四十页。 例5.1 求矩阵的标准形矩阵. 解 对矩阵A施初等行变换～第十六页，共四十页。～～～～第十七页，共四十页。～为A的标准形矩阵. 在例1的计算中，我们既使用了初等行变换，也是用了初等列变换.但在某些场合只允许使用初等行变换.例如，引例中求解方程组的过程对应到相应的矩阵上来，即有第十八页，共四十页。～～～第十九页，共四十页。1) 行阶梯形矩阵： 行阶梯形矩阵的特点是： 1） 矩阵的所有元素全为0的行（如果存在的话）都集中在矩阵的最下面； 2）每行左起第一非零元素（称为首非零元）的下方元素全为0. 形象地说，可以在该矩阵中画一条阶梯线，线的下方元素全为0；每个阶梯仅有一行，阶梯数即是非零行的行数；阶梯线的竖线后面的第1个元素即为首非零元.第二十页，共四十页。2) 行最简形矩阵： 行最简形矩阵的特点是： 非零行的首非零元为1，且这些首非零元所在的列的其它元素全为0. ※ 一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的.要解线性方程组,只须把增广矩阵化为行最简形矩阵. 结论 设A为m×n矩阵，则A必可用初等行变换化为行阶梯形矩阵.第二十一页，共四十页。　矩阵的标准形　对行最简形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0．例如第二十二页，共四十页。定理5.2(请大家自证之.) 请大家思考一下：矩阵A的行