矩阵的初等变换与初等方阵.pptxVIP

第五节 矩阵的初等变换与初等方阵;引例;解;;于是解得;小结：;3．上述三种变换都是可逆的．;　　因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．;定义1;定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．;等价关系的性质：;定义;(Ⅰ)交换E的第i,j两行(列)(i ≠j)，得到的初等方阵记为;(Ⅱ)用非零常数k乘以E的第i行(列)，得到的初等方阵记为;(Ⅲ)将E的第j行的k倍加到第i行上（或第i列的k倍加到第j列上）(i<j)，得到的初等方阵记为;将E的第i行的k倍加到第j行上（或第j列的k倍加到第i列上）(i<j)，得到的初等方阵记为;定理： （1）Pij左（右）乘A就是互换A的第i行（列）和第j（列）。 （2）Di左（右）乘A就是用非零数k乘A的第行（列） 。 （3）Tij左乘A就是把A中第j行的k倍加到第i行。 （4）Tij右乘A就是把A中第i列的k倍加到第j列。 （行左列右）;定理： 任意一个m×n的矩阵A，一定可以经过有限次初等行变换和初等列变换化成如下形式的m×n矩阵：;定理： 任意一个m×n的矩阵A，一定存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得;定理： n阶方阵A是可逆矩阵的 存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=En(即A等价于单位矩阵) A可以写成若干个初等方阵的乘积。;具体方法： 用初等行变换把n ×2n矩阵(A,En)化成(En,A-1)，当(A,En)的左半部分化为单位矩阵En时，右半部分就是A-1了。如果前n列不可能化为单位矩阵，则说明A不是可逆矩阵。 注意，用初等行变换方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换！而且在求出A-1以后，最好验证式子AA-1=En，以避免在计算中可能发生的错误。;用矩阵的初等变换求解矩阵方程 常见矩阵方程有以下两类： (1)设A是n阶可逆矩阵，B是m×n矩阵，求出矩阵X满足AX=B。 原理：如果找到n阶可逆矩阵P使PA=En，则P=A-1，而且有P(A,B)=(PA,PB)=(En,A-1B). 上式右边矩阵的最后m列组成的矩阵就是X，即X= A-1B. 方法：用初等行变换把分块矩阵(A,B)化成(En,A-1B)，即 (A,B) (En,A-1B)。;(2)设A是n阶可逆矩阵，B是m×n矩阵，求出矩阵X满足XA=B。 方法：用初等行变换把 (AT,BT)化成(En, (BA-1) T)，可求出XT= (BA-1) T. 具体过程： (A T,B T) (En,X T)。;三、小结;1. 单位矩阵 初等矩阵.;思考题;思考题解答;由初等方阵的性质得第五节 矩阵的初等变换与初等方阵;引例;解;;于是解得;小结：;3．上述三种变换都是可逆的．;　　因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．;定义1;定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．;等价关系的性质：;定义;(Ⅰ)交换E的第i,j两行(列)(i ≠j)，得到的初等方阵记为;(Ⅱ)用非零常数k乘以E的第i行(列)，得到的初等方阵记为;(Ⅲ)将E的第j行的k倍加到第i行上（或第i列的k倍加到第j列上）(i<j)，得到的初等方阵记为;将E的第i行的k倍加到第j行上（或第j列的k倍加到第i列上）(i<j)，得到的初等方阵记为;定理： （1）Pij左（右）乘A就是互换A的第i行（列）和第j（列）。 （2）Di左（右）乘A就是用非零数k乘A的第行（列） 。 （3）Tij左乘A就是把A中第j行的k倍加到第i行。 （4）Tij右乘A就是把A中第i列的k倍加到第j列。 （行左列右）;定理： 任意一个m×n的矩阵A，一定可以经过有限次初等行变换和初等列变换化成如下形式的m×n矩阵：;定理： 任意一个m×n的矩阵A，一定存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得;定理： n阶方阵A是可逆矩阵的 存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=En(即A等价于单位矩阵) A可以写成若干个初等方阵的乘积。;具体方法： 用初等行变换把n ×2n矩阵(A,En)化成(En,A-1)，当(A,En)的左半部分化为单位矩阵En时，右半部分就是A-1了。如果前n列不可能化为单位矩阵，则说明A不是可逆矩阵。 注意，用初等行变换方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换