圆锥曲线常用结论.docx

圆锥曲线 一椭圆 x2 y2 1椭圆a2 b2 1（a＞b＞0）的焦半径公式： |MF1| a ex0,|MF2| a ex0(F1( c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)). 2：点P(x0,y0) 和椭圆 x2 y 2 1（a b 0 ）的关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆外 a2 b2 x02 y02 x02 y02 ；（2）点P(x,y )在椭圆上 )在椭圆内 1 0 ＝1；（3）点P(x,y 0 a2 b2 0 a2 b2 0 x02 y02 1。 a2 b2 3：圆锥曲线焦点地点的判断（首先化成标准方程，然后再判断） （1）椭圆：由x2,y2 母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 如已知方程 x2 y2 1表示焦点在y轴上的椭 m12m 圆，则m的取值范围是 ,1 (1,3)（2）双曲线：由x2 ,y2项系数的正负决定，焦点 2 在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口 方向。 4;设椭圆x2 y21a b 0 的左焦点、右焦点分别为 F1、F2，点P在椭圆上， a2 b2 FPF12 2,求证：PF1 PF2 1 2b2 且 PF1F2的面积S b2tan。 cos 解：设 1 mPF 2 n 1 1 2 2c PF ，则S mnsin2，又 FF ，由余弦定理 ， 2 2 m2 n2 2mncos2=m 2 2mn 2mncos =2a 2 2mn1 cos2， 2c n 于是2mn1 cos2 2 4c 2 = 4b 2 ，所以mn 2b 2 ，进而有 4a c 1 os2 S1 2b2 sin2=b2tan 。 21cos2 5：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光芒都汇聚到椭圆的 另一个焦点上。 在点P处的外角。即有 6：点P处的切线PT平分△PF12 F MPK F2PM,PT MN,F1PT F2PT。 7.：PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除掉长轴的两个端点。 7：若P0(x0,y0)在椭圆 x2 y2 x0x y0y a 2 2 1上，则过P0的椭圆的切线方程是 2 21. b a b 8若P0 (x0 ,y0) x2 y 2 1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 在椭圆 2 b 2 a P1P2的直线方程是x0x y0y 1 . a2 b2 K M HP F1  B F2 T 8：以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线 相离. 9：以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切. 10：设过椭圆焦点 F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个极点， 连接AP和 AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M、N两点，则MF⊥NF. 11：过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于两点 P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的极点，A1P和 A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 12：AB 是椭圆 x2 y2 1的不平行于对称轴 的弦，M(x0,y0)为AB 的中点，则 a2 b2 kOMkAB b2，即KAB b2x0。 a2 a2y0 13：若P0(x0,y0)在椭圆 x2 y2 1内，则被Po所平分的中点弦的方程是 a2 b2 x0xy0yx02 y02 a 2 b 2 a 2 b 2. x2 y2 1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 14：若P0(x0,y0)在椭圆 b2 a2 x2 y2 x0x y0y a 2 b 2 a 2 2. b 15：椭圆x2 y2 1（a＞b＞o）的两个极点为 A1( a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交 a2 b2 椭圆于P1、P2时A 1P1与A2P2交点的轨迹方程是 x2 y2 1. a2 b2 13过椭圆x2 y2 1 (a＞0,b＞0)上任一点A(x0,y0)随意作两条倾斜角互补的直线交椭圆 a2 b2 于B,C两点，则直线 BC有定向且kBC b2x0 （常数）. a2y0 x2 y2 1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点 ,F1,F2是焦点, PF1F2 , 14若P为椭圆 b2 a2 PF2F1 a c cot . ，则 a tan 2 c 2 1. x2 y2 1（a＞b＞0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上随意 设椭圆 b2 a2 一点，在△PF1F2 中，记 F1PF2 , PF1F2 , F1F2P ，则有 sin c e. sin sina 2. x2 y2 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0＜e 若椭圆 b2 a2 ≤2 1时，可在椭圆上求一点 P，使得PF1是P到对应准线距离 d与PF2的比率中项. 3. x2