(4.4.1)--3.6（补充）计算流体力学的模型方程.pdf

《计算流体力学基础》讲义 补充：计算流体力学中不同类型的常用模型方程及其特性 同学们好，今天我们来学习计算流体力学中常用的模型方程及其特性。我们之所以要引入模型 方程，是因为这些偏微分方程反映了相应物理问题的最基本特征，在后面讨论和考察某类差分格式 性质时会非常有用。 本次课，我们重点介绍两类模型方程：线性模型方程和非线性模型方程。线性模型方程中，主 要介绍波动方程、热传导方程、线性Burgers 方程和Laplace 方程；非线性模型方程中，主要介绍非 线性Burgers 方程。 线性模型方程 1）波形方程 一维波动方程是双曲型偏微分方程，是非定常Euler 方程的模型方程，它的解反映了非定常Euler 方程解中波传播的基本特征。一维波动方程的一般形式如下： u u +c 0，=− x , t  0 t x 初始条件为： u(x,0) (x) 一维波动方程的解析解为： u(x,t) (x =−ct) 也正因为有解析解，才适合作为模型方程来考察某类差分格式的特点。从一维波动方程的解析解可 以看出，随着时间的推移，如果x −ct 的值相等，那么u 的值也相同。 t 如图 1 所示，假设初始条件(x ) 描述的扰动波的形状是一个三角形，那么在经过 时间后， ct c 0 其波形仍然为三角形，幅值不发生改变，只是以速度c 向前传播了 的距离。当 时，波形向 x 正向传播，称为右行波；当c 0 时，波形向x 负方向传播，称为左行波。在传播过程中，一维波 动方程描述的波形幅值沿特征线dx / dt c 保持不变。波以有限速度传播是双曲型方程解的一个重 要特征。 在求解偏微分方程时，偏微分方程的类型决定了定解条件的提法。对于一维波动方程的初边值 问题，假设求解域在x = 0 和x = L 之间，它的特征线在x-t 平面上是一系列斜率为dx / dt c 的直线， 扰动波就是从初始时刻开始，沿着这些直线传播的。如图 2(a)所示，在c > 0 时，扰动波从t = 0 的 初始条件和x = 0 的边界条件开始，传播到整个定解域，或者说左下方的函数值决定了右上方的函数 1 《计算流体力学基础》讲义 值。因此，对于波动方程的初边值问题，边界条件在x = 0 处给定时才是适定的。如果在x = L 处给 定了边界条件或着x = 0 处不给边界条件，那么该问题的求解将出现过定或欠定。过定和欠定的边界 条件都称为数学提法不适定。如果定解条件的边界是一条曲线，边界条件提法又是怎样的呢？如图 2(b)所示，正确的定解条件必须且只能在t = 0、曲线S1 和曲线S3 上给定，注意S2 上不能给任何条件， 否则将破坏数学提法的适定性。因为，S2 上任一点都会落在从 S1 出发的某一条特征线上，是由 S1 上的边界值确定的。由此可见，对于双曲型方程，正确边界条件的确定取决于求解域各边界上的特 征线方向。 u(x,0) (x) x t t c t