专题7 圆锥曲线压轴小题（解析版）.docx

专题7 圆锥曲线压轴小题 一、单选题 1．（2022·浙江·高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（????） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 如图，在上取一点M，使得，连接，则， 则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以， 所以， 设，则， 由椭圆定义可知：，即，所以， 所以，， 故点A与上顶点重合， 在中，由余弦定理得： ， 在中，， 解得：， 所以椭圆离心率为. 故选：A 2．（2022·河南·模拟预测（文））已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（????） A． B．1 C．16 D． 【答案】B 【解析】如示意图，由抛物线的定义可知点M到抛物线准线的距离为4，则，即抛物线，则. 设，则. 由，则，所以 ，， 因为点在这两条直线上，所以，于是点A,B都在直线上，即，代入抛物线方程并化简得：，由根与系数的关系可知. 于是. 故选：B. 3．（2022·广东茂名·二模）已知抛物线：的焦点为，、、为抛物线上三点，当时，称为“特别三角形”，则“特别三角形”有（????） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【解析】 当时，易知为的重心，连接并延长至，使，当在抛物线内部时，设，若存在以为中点的弦，这样的即满足要求.设，则，又，两式相减可得，即，所以总存在以为中点的弦，即这样的三角形有无数个. 故选：D. 4．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C 的右焦点，圆上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，，分别为直线BP，QF的斜率，则的取值范围是（????） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对椭圆C，，右焦点，易知，则，，设，则，设，则，所以，因为，所以，所以，易知，于是，. 故选：D. 5．（2022·全国·高三专题练习）已知点P为抛物线上一动点，，，则的最大值为（????） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据抛物线的对称性，不妨设， 若，则，，，所以； 若，则，，，所以； 若且，此时且， ，所以， 因为,所以，则，当且仅当时取“=”， 而，所以. 综上：的最大值为. 故选：B. 6．（2022·全国·高三专题练习（理））在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，｜AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（????） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，设，所以，解得， 所以抛物线的方程为，，，， 所以直线的方程为， 设圆心坐标为，，所以，解得，即， 圆的方程为， 不妨设，设直线的方程为，则， 根据，解得， 由，解得， 设，所以， 因为， 所以． 故选：B． 7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知直线与椭圆切于点，与圆交于点，圆在点处的切线交于点，为坐标原点，则的面积的最大值为 A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】设，，，由，，可得四点，，，共圆， 可得以为直径的圆，方程为， 联立圆，相减可得的方程为， 又与椭圆相切，可得过的切线方程为，即为， 由两直线重合的条件可得，， 由于在椭圆上，可设，，， 即有，， 可得， 且，， 即有， ，当即或或或时， 的面积取得最大值． 故选． 8．（2022·全国·高三专题练习（理））是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为 A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】因为直线l为双曲线C的一条渐近线，则直线 因为是双曲线的左、右焦点 所以（-c，0），（c，0） 因为关于直线l的对称点为，设为（x，y） 则 解得 所以为（） 因为是以为圆心，以半虚轴长b为半径的圆，则圆的方程为 将以的（）代入圆的方程得 化简整理得 ，所以 所以选B 9．（2022·河南信阳·高三阶段练习（理））已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设在第二象限，由外接圆面积得其半径，设，利用正弦定理求出，从而可得，然后求得点坐标，把点坐标代入双曲线方程可得关系式，化简后可求得离心率． 详不妨设在第二象限，则在等腰中，， 设，则，为锐角． 外接圆面积为，则其半径为，∴， ∴，， ∴，， 设点坐标为，则，， 即点坐标为， 由点在双曲线上，得，整理得， ∴． 故选C． 10．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知点是抛