专题18 旋转模型之费马点型（解析版）.docx

专题18 旋转模型之费马点型 1．若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小． (1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______． (2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：． (3)如图4，在直角三角形ABC中 ，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值． 【答案】(1)150° (2)见解析 (3) 【分析】（1）由全等三角形的性质得到AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB ，再根据旋转性质，证明△APP′为等边三角形，△PP′C为直角三角形，最后由∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C解答； （2）由费马点的性质得到，，再证明 (ASA)，由全等三角形对应边相等的性质解得，最后根据线段的和差解答； （3）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′，由勾股定理解得，由旋转的性质，可证明△BPP′是等边三角形，再证明C、P、A′、P′四点共线，最后由勾股定理解答． （1） 解：∵， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PAP′＝60°， ∴△APP′为等边三角形， PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°， 由旋转的性质可得：AP′＝AP＝PP′=3，CP′＝4，PC=5， ∵32+42=52 ∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°； 故答案为：150°； （2） 证明：∵点P为△ABC的费马点， ∴， ∴， 又∵， ∴APD为等边三角形 ∴，， ∴， ∴， 在△APC和△ADE中， ∴ (ASA)； ∴， ∵， ∴BE＝PA＋PB＋PC； （3） 解：如图，将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴， 把△APB绕点B顺时针方向旋转60°得到△A′P′B， ∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′P′B， ∴A′B＝AB＝2，BP＝BP′，A′P′＝AP， ∴△BPP′是等边三角形， ∴BP＝PP′，∠BPP′＝∠BP′P＝60°， ∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°， ∴∠CPB＋∠BPP′＝∠BP′A′＋∠BP′P＝120°＋60°＝180°， ∴C、P、A′、P′四点共线， 在Rt△A′BC中，， ∴PA＋PB＋PC＝A′P′＋PP′＋PC＝A′C＝． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键． 2．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长． 【详解】解：如图， ∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF， ∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG， ∴△BFG是等边三角形． ∴BF=BG=FG，． ∴AG+BG+CG=FE+GF+CG． 根据“两点之间线段最短”， ∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长， 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF=180°-120°=60°， ∵BC=4， ∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中， ∵EF2+FC2=EC2， ∴EC=4． ∵∠CBE=120°， ∴∠BEF=30°， ∵∠EBF=∠ABG=30°， ∴EF=BF=FG， ∴EF=CE=， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA