专题21 割圆术（以割圆术为背景的高中数学考题题组训练）解析版.docx

【高中数学数学文化鉴赏与学习】 专题21 割圆术 （以割圆术为背景的高中数学考题题组训练） 一、单选题 1．我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”.也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积.如图的半径为1，用圆的内接正六边形近似估计，则的面积近似为，若我们运用割圆术的思想进一步得到圆的内接正二十四边形，以此估计，的面积近似为（???????） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 求得圆内接正二十四边形的面积，由此求得的面积的近似值. 【详解】 ， 圆内接正二十四边形的面积为. 故选：C 2．刘徽的割圆术是建立在圆面积论的基础之上的．他首先论证，将圆分割成多边形，分割越来越细，多边形的边数越多，多边形的面积和圆的面积的差别就越来越小了．如图，阴影部分是圆内接正12边形，现从圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（???????） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 先求出阴影部分及圆的面积，然后结合几何概型中面积型的概率公式求解即可. 【详解】 解：设圆的半径为1， 由题意可得阴影部分的面积为， 又圆的面积为， 则由几何概型中面积型的概率公式可得此点取自阴影部分的概率是, 故选：A. 【点睛】 本题考查了几何概型中面积型的概率公式，重点考查了正多边形面积的求法，属基础题. 3．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来，类似地不难得到（???????） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 令，结合已知可得，求解即可. 【详解】 令，则， ∴，解得， ∴. 故选：A 4．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出，“割之弥细，所失弥少，制之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来，类比上述结论可得的正值为 A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意,通过类比可得: ,再解方程可得. 【详解】 由题意可得，，∴，解得． 故选C. 【点睛】 本题考查了推理与证明中的类比推理,属中档题. 5．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，计算到圆内接3072边形的面积，得到的圆周率是.公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率和约率。大约在公元530年，印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为（）.在这4个圆周率的近似值中，最接近真实值的是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 依次计算出每个近似值，与圆周率作对比找到最接近真实值的项. 【详解】 ，，， 由圆周率的值可知，最接近真实值的为 故选： 【点睛】 本题考查圆周率的相关知识，关键是能够准确计算出各个近似值，属于基础题. 6．“割圆术”是我国古代计算圆周率的一种方法.在公元年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求.当时刘微就是利用这种方法，把的近似值计算到和之间，这是当时世界上对圆周率的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率，则的近似值是（???????）（精确到）（参考数据） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 假设圆的半径为 ，根据以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形，顶角为，计算正二十四边形的面积，然后计算圆的面积，可得结果. 【详解】 设圆的半径为， 以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形 且顶角为 所以正二十四边形的面积为 所以 故选：C 【点睛】 本题考查分割法的使用，考验计算能力与想象能力，属基础题. 7．刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及