2022-2023学年八年级数学上学期期中分类复习专题01 勾股定理与等腰（边）结合的压轴题（含答案解析）.docx

专题01 勾股定理与等腰（边）结合的压轴题 1．(1)【原题呈现】在课本中，安排有这样一个思考问题：“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，那么BC和AB有怎样的数量关系？试证明你的结论” 老师在课堂中提出这样的问题，并展示了小明的部分解答 小明：AB=2BC． 证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC． ∴∠ACD=∠ACB=90°， ∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：点B、C、D在一条直线上．（请在下面补全小华后面的证明过程） (2)【变式拓展】如图2，在△ABC中，把（1）中条件“∠ACB=90°”改为“∠ACB=135°”，保持“∠BAC=30°”不变，则 ． (3)【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题． 如图3，点D是△ABC内一点，AD=AC，∠BAD=∠CAD=20°，∠ADB+∠ACB=210°，探求AD、DB、BC三者之间的数量关系，并说明理由． 2．如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝10，AD＝6，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP． （1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值． （2）当射线PE与边AB交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由． 3．背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． (2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点． (3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值． (4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值． 4．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且AD：BD：CD＝2：3：4， （1）试说明△ABC是等腰三角形； （2）已知S△ABC＝160cm2，如图2，动点M从点A出发以每秒2cm的速度沿线段AB向点B运动，同时动点N从点B出发以相同速度沿线段BC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与AC平行，求t的值； ②若点E是边BC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 5．如图，在中，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的周长； (2)问t为何值时，为以C为顶点的等腰三角形； (3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为秒，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把的周长分成相等的两部分． 6．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：CD：AD＝1：3：4． （1）试说明△ABC是等腰三角形； （2）已知S△ABC＝30cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）， ①若△DMN的边与BC平行，求t的值； ②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 7．【问题发现】 （1）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接CE，容易发现：①∠BEC的度数为 ；②线段BD、CE之间的数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，试判断∠BEC的度数及线段BE、CE、DE之间的数列关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，∠AOB＝∠ACB＝90°，OA＝3，OB＝6，AC＝BC，则OC2的值为 ． 8．如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒2个单位