第16讲 与圆有关的位置关系-讲义2021-2022学年九年级数学人教版上册（学生版）.docx

第16讲 与圆有关的位置关系 知识导航 1.若的半径为r，OP＝d，则点P在外d＞r；点P在上d＝r；点P在内d＜r. 2.若的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则d与相离d＞r；l与相切d＝r；l与相交d＜r；3.切线的性质与判定，切线长定理及三角形的外心，内心的概念和性质. 【板块一】切线的判定 方法技巧 当待证切线与圆有明确的公共点时，连半径，证垂直；当待证切线与圆无明确的公共点时，做垂直，证半径（有点连半径，证垂直；无点作垂线，证全等） 题型一 连半径，证垂直 【例1】如图，AD，BD是的弦，且∠ADB＝90°，点C是BD的延长线上的一点，且满足AD2＝CD·DB，连接CA，求证：AC是的切线。 【例2】如图，抛物线y＝与x轴交于点A，B（A左B右），与y轴交于点C，点P为抛物线的顶点. （1）判断△ABC的形状，并证明你的结论； （2）求证：直线CP是△ABC的外接圆的切线. 题型二 作垂直，证半径 【例3】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且AD＋BC＝CD，求证：以CD为直径的圆与AB相切. 针对练习1 1.如图，△ABC是的内接三角形，点E是经过点C的直线1上的一点，且∠ECB＝∠BAC，求证：直线1是的切线. 2.如图，AB是的直径，点C是上的一点，过点C的直线与切线DB相交于点D，过点D作DE⊥DB交直线AC于点E.若AB＝2DE，求证：DC与相切. 3.如图，在平行四边形ABCD中，经过A，B，C三点，且，求证：DC与相切. 4.如图，AD是△ABC的高，且AD＝BC，点E，F分别为AB，AC的中点，以EF为直径作，试判断BC与的位置关系，并说明理由。 5.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与边AB交于点P，△ABC的内切圆与边BC相切于点M，作MD∥AC交于点D，连接PD.求证：PD与相切. 【板块二】切线的性质 方法技巧 已知切线，连接过切点的半径，构造垂真关系，进行角度的转化或在直角三角形中运用勾股定理求线段的长（遇切线，连半径）. 题型一 遇切线，连半径，求角度 【例1】如图，AB是的直径，点P是AB的延长线上的一点，PC与相切于点C，∠APC的平分线交AC于点D.（1）求∠ADP的度数； （2）连接BC交PD于点E，若CD，CE的长是方程x2－mx＋2m＝0的两个根，求DE的长. 【例2】如图，四边形ABCD是平行四边形，点O为BC的延长线上的一点，经过A，C，D三点的恰好与AB相切. （1）求∠OCD的度数；（2）求的值 题型二 遇切线，连半径，运用勾股定理求线段的长 【例3】如图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是边AB上的一点，且AE＝AB，经过点E的分别与边BC，CD相切于点M，N，与AB相交于另一点F，若，求矩形的面积. 【例4】如图，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于点A，B，点Q是以C（0，－1）为圆心，1为半径的上的一动点，过点Q的切线交直线AB于点P，求线段PQ的长的最小值 针对练习2 1.如图，AB为的直径，点D为的中点，点E为BA的延长线上的一点，EC与相切于点C，连接CD，若∠E＝32°，则∠ECD＝_________ 2.如图，点C是的直径BA的延长线上的一点，CD与相切于点D，点E是优弧上的一点（不与A，D，B重合），若∠C＝40°，则∠DEB＝____________ 3.如图，圆内接四边形ABCD的边AB是外接圆的直径，过点C的切线垂直于直线AD于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD＝__________. 4.如图，在△ABC中，BC＝2AC＝2a，当∠ABC最大时，则的值. 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在边AC上，以OA为半径的交AB于点D，过点D作的切线交BC于点E，若OA：OC：AB＝1：2：5，求的值. 6.如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM的长为半径作P，当P与正方形ABCD的边相切时，求BP的长. 7.如图，以的弦AB为边向外作正方形ABCD，过点D作DE与相切于点E，若AB＝2，DE＝3，求的半径. 【板块三】切线长定理——双切图 方法技巧 从一点出发的两条切线，构造切线长定理的基本图形是解决一类问题的关键.【例1】【教材变式】（课本P101－6改）如图CA，CD是的两条切线，切点分别为A，D，AB是的直径，AB＝AC，过点A作AF⊥CD于点F，交于点E. （1）求证：AE＝CF； （2）若AB＝2，求AE的长. 【例2】【2018原创题】如图，AB为的直径，P