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第二十二章 二次函数
第5讲 二次函数的图象和性质
知识导航
1.二次函数的概念。
2.二次函数的图象与性质。
3.图象的平移规律。
【板块一】二次函数的图象和性质
方法技巧
理解并掌握二次函数的图象的形状(抛物线)、顶点(最高点或最低点)、开口方向(向上或向下)、对称轴等知识,运用数形结合思想解决问题.
题型一 开口方向、对称轴、顶点坐标及位置
【例1】(1)抛物线y=2x2+1的开口方向是 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ;二次函数y=-(x+1)2﹣2的图象的开口方向是 ,对称轴是直线 ,顶点坐标是(﹣1.﹣2).
(2)抛物线y=2x2+1在x轴的 方;当x>0时,图象自左向右逐渐 ,它的顶点是最低点;抛物线y=-(x+1)2﹣2,当x 时,它的图象在x轴的 ,顶点是 。
题型二 抛物线的开口大小
【例2】如图,若抛物线y=ax2与四条直线x=1,x=2,y=1,y=2围成的正方形ABCD有公共点,则a的取值范围是( )
A.≤a≤1 B.≤a≤2 C.≤a≤1 D.≤a≤2
【例3】如图,在同一平面直角坐标系中,作出①y=x2;②y=-x2,③y=-2x2的图象,则三个图象I,Ⅱ,Ⅲ对应的抛物线的解析式依次是 .
题型三 抛物线的对称性
【例4】抛物线y=ax2+bx+5经过A(2,5).B(﹣1,2)两点。若点C在该抛物线上,则点C的坐标可能是( )
A.(﹣2,0) B.(0.5,6.5) C.(3,2) D.(2,2)
针对练习1
1.已知二次函数y=-x2+1,其图象的开口向 ,对称轴为 ,顶点坐标为 ,该图象的顶点是最 点。
2.如图,点A1,A2,…,An。在抛物线y=x2上,点B1,B2,.…,Bn。在y轴上,若△,△,…,△。都为等腰直角三角形(点为坐标原点),则△的腰长等于( )
A.2020 B.2021 C.2020 D.2021
3.如图,抛物线y=a(x﹣h)2+k与x轴的一个交点A在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两个点),顶点C是矩形DEFG区域内(包括边界和内部)的一个动点,则a的取值范围是 .
4.抛物线y=(x﹣h)2+k过点A(2,6),且对称轴与线段BC有交点,B(1,0),C(4,0),求k的取值范围.
5.已知A(x1,2019),B(x2,2019)是抛物线y=ax2+bx+2018(a≠0)上的两点,则当x=x1+x2时,二次函数的值是( )
A.+5 B.﹣+5 C.2019 D.2018
【板块二】二次函数的增减性
方法技巧
比较二次函数值的大小的方法:
(1)代入比较法:若已知函数的解析式,则将几个点的横坐标分别代入,求出相应的函数值,再比较大小;
(2)增减性比较法:当点在对称轴同侧时,直接根据函数的增减性比较大小;当点不在对称轴的同侧时,利用二次函数图象的对称性,将点转化到对称轴的同侧,再比较.
(3)根据点到对称轴的距离比较大小:当抛物线开口向上时,点到对称轴的距离越大,相应的函数值大,当抛物线开口向下时,点到对称轴的距离越大,相应的函数值越小。
题型一 运用二次函数的增减性比较大小
【例1】若点A(﹣4,y1),B(﹣3,y2).C(3,y3)为二次函数y=(x+1)2+k的图象上的三点,则 y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y1<y3<y2:
【例2】下列关于函数y=(x﹣3)2+1的四个命题:①当x=0时,y有最小值10;②n为任意实数,x=3+n时的函数值大于x=3﹣n时的函数值;③若n>3,且n是整数,当n≤r≤n+1时,y的整数值有(2n一4)个;④若函数图象过点(a,y0)和(b,y0+1),其中a>0,b>0,则a<b,其中真命题的序号是( )
A.① B.② C.③ D.④
题型二运用二次函数的增减性求对称轴的取值范围
【例3】二次函数y=﹣(x﹣h)2+2的图象上有两点A(1,y1),B(2,y2),若y1≤y2,则h的取值范围为_____
题型三 增减性与顶点的联系
【例4】关于x的二次函数y=(x﹣m)2﹣1,当-1≤x≤3时,函数有最小值-2m+11,则m的值为__________
针对练习2
1.若抛物线y=ax2(a<0)经过点A(﹣1,y1),B(2,y2),C(3,y3),则( )
A.y1>y2>y3 B.y1<y3<y2 C.y2<y1<y3 D.y3<y1<y2
2.二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3时,其函数y的最
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