2022年数学建模国赛B题.docx

2021 年数学建模国赛 B 题 2022 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了?全国大学生数学建模竞赛章程?和?全国大学生数学建模竞 赛参赛规那么?〔以下简称为“竞赛章程和参赛规那么〞，可从全国大学生数学 建模竞赛网站下载〕。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式〔包括电话、电子邮 件、网上咨询等〕与队外的任何人〔包括指导教师〕研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规那么的，如果引用别人 的成果或其他公开的资料〔包括网上查到的资料〕，必须按照规定的参考文献的 表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规那么，以保证竞赛的公正、公平 性。如有违反竞赛章程和参赛规那么的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行 公开展示〔包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等〕。 我们参赛选择的题号是〔从 A/B/C/D 中选择一项填写〕： B 我们的报名参赛队号为〔8 位数字组成的编号〕：所属学校〔请填写完整的全名〕： 宝鸡文理学院参赛队员 (打印并签名) ：1. 李思怡 甘功伟 史少阳 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 李晓波 〔论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以 上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。〕 日期： 2014 年 09 月 15 日 赛区评阅编号〔由赛区组委会评阅前进行编号〕： 2022 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号〔由赛区组委会评阅前进行编号〕： 赛区评阅记录〔可供赛区评阅时使用〕： 评阅人 评分 备注 全国统一编号〔由赛区组委会送交全国前编号〕： 全国评阅编号〔由全国组委会评阅前进行编号〕： 1 1 一、问题重述 问题背景 某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平 摊成一张平板。桌腿由假设干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木 条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空 槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示 了折叠桌的动态变化过程。 目标任务 建立数学模型讨论以下问题： 给定长方形平板尺寸为 120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽 2.5 cm， 连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为 53 cm。建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此根底上给出此折叠桌的设计加工参数〔例如，桌腿木条开槽的长度等〕和桌脚边缘线〔图 4 中红色曲线〕的数学描述。 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的 最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm， 桌面直径 80 cm 的情形，确定最优设计加工参数。 公司方案开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、 桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。我们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。给出相应的设计加工参数，画出至少 8 张动态变化过程的示意图。 二、问题分析 针对问题一，对于给定某些参数的平板，要建立模型来描述折叠桌的动态 变化过程，就必须确定未知参数，如，折叠桌的各个桌腿长以及所穿钢筋所活 动区域的卡槽长。根据题意，可以了解到长方形平板的宽度即为圆桌桌面的直 径，因此，可以建立相应的空间直角坐标系，利用一定的数学方程通过桌面直 径以及桌腿〔各木条〕的宽度计算出每个桌腿的长度，进而利用其长度和的桌 高求出个木条的开槽长度。另外，折叠桌的动态变化过程可由钢筋在卡槽中的 运动轨迹来描述。 针对问题二，为了到达最优的加工方案，我们可以将多目标优化做一转化， 选择以用材最少为目标函数，即选择的木板所用的体积最少为目标，以稳固性好和加工方便为约束条件，利用受力和几何图形分析，将所需考虑的平板尺寸、 钢筋位置、开槽长度三个设计参数用未知量表示，采用和问题一类似的数学方法计算未知量为何值时，目标函数的最小值。 针对问题三，为了满足客户对于折叠桌样式与尺寸的需求，我们可以采用 与问题一与问题二中类似的分析方法，给出其算法思想，最后可以通过程序得 出相应的设计参数和某些创意桌面的动态图。 1 三、符号说明与问题假设