中值定理及导数应用.ppt

把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁．问矩形截 面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W 最大?其中 d h b 解 b 与h 有下面的关系： h 2?d 2?b 2， 例3 第63页，共94页，编辑于2022年，星期五 由于梁的最大抗弯截面模量在(0，d)内一定存在，而函数 在(0，d)内只有一个驻点， W的值最大．这时， ， 于是有 把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁．问矩形截 面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W 最大?其中 解 b 与h 有下面的关系： h 2?d 2?b 2， 例3 第64页，共94页，编辑于2022年，星期五 §4．5 曲线的凹凸、拐点与渐近线 曲线的凹凸与拐点 曲线的凹凸性 曲线凹凸性的判定定理 曲线的拐点 确定曲线的凹凸性和拐点的步骤 第65页，共94页，编辑于2022年，星期五 曲线的凹凸性： 那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)； 定义 设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1，x2，恒有 曲线的凹凸与拐点 x1 x 2 y x O f(x2) f(x1) y=f(x) x1 x 2 y x O f(x2) f(x1) y=f(x) 第66页，共94页，编辑于2022年，星期五 那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)． x1，x2，恒有 曲线的凹凸性： 那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)； 定义 设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1，x2，恒有 曲线的凹凸与拐点 如果对I上任意两点 第67页，共94页，编辑于2022年，星期五 连续曲线y?f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点． 1 0 1 2 1 1 2 x y y=x3 3 2 1 0 1 2 3 x y y=sinx 曲线的拐点： 第68页，共94页，编辑于2022年，星期五 y x O y=f(x) y x O y=f(x) 观察切线斜率的变化： 曲线凹凸性的判定： 第69页，共94页，编辑于2022年，星期五 3 2 1 0 1 2 3 4 1 2 y x 解：函数的定义域为(??, ??)。 所以函数在[0, ??)上单调增加。 因为x>0时，y?>0， 所以函数在(??, 0] 上单调减少； 因为x<0时，y?<0， 第31页，共94页，编辑于2022年，星期五 x f ?(x) f (x) 例4．确定函数f(x)?2x3?9x2?12x?3的单调区间。 解：这个函数的定义域为(??, ??)。 f ?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2)， 导数为零的点为x1?1、x2?2。 列表分析： 函数f(x)在区间(??, 1]和[2, ??)内单调增加，在区间[1, 2]上单调减少。 (??, 1] [1, 2] [2, ??) ↗ ↘ ↗ ＋ － ＋ 2 1 0 1 2 3 10 8 6 4 2 1 2 3 4 y x y?2x3?9x2?12x?3 第32页，共94页，编辑于2022年，星期五 x y O 1 1 y=x3 说明: 一般地，如果f ?(x)在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处均为正(或负)时，那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的。 例5．讨论函数y?x3的单调性。 解：函数的定义域为x?0 (??, ??)。 y??3x2，当x?0时，y??0。 因为当x?0时，y?>0。所以函数y?x3在区间(??, 0]及[0, ??)内都是单调增加的。 因此函数在整个定义域(??, ??)内是单调增加的。 第33页，共94页，编辑于2022年，星期五 0 1 2 3 x 1 y y = 2 x - (3 - x 1 ) 因为当x>1时，f ?(x)>0，所以f(x)在[1, ??)上f(x)单调增加。因此当x>1时，f(x)>f(1)=0，即 第34页，共94页，编辑于2022年，星期五 §4．4 函数的极值与最值 一、函数的极值及其求法 极值的定义 取得极值的必要条件、驻点 取得极值的第一种充分条件 确定极值点和极值的