平面向量和三角形四心问题.doc

平面向量基本定理与三角形四心 已知是内的一点，的面积分别为，，，求证： 如图2延长与边相交于点则 图1 图2 推论是内的一点，且，则 有此定理可得三角形四心向量式 是的重心 是的内心 是的外心 是的垂心 证明：如图为三角形的垂心， 同理得， 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一 4.2三角形“四心”的相关向量问题 一．知识梳理： 四心的概念介绍： (1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； (3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 与“重心”有关的向量问题 1 已知是所在平面上的一点，若，则是的( )． A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 如图⑴. M M 图⑵图 图⑵ 图⑴ 2已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的( ). A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 【解析】由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图⑵. 3 .O是△ABC所在平面内一点，动点P满足（λ∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　） A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心 解：作出如图的图形AD⊥BC，由于sinB=sinC=AD， ∴= 由加法法则知，P在三角形的中线上 故动点P的轨迹一定通过△ABC的重心 故选：B． 与“垂心”有关的向量问题 3 是所在平面上一点，若，则是的( ) A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 【解析】由，得，即，所以．同理可证，．∴是的垂心．如图⑶. 图⑷ 图⑷ 图⑶ 4已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的( )． A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 【解析】由题意， 由于， 即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图⑷. 5若为所在平面内一点，且 则点是的( ) A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 BCHA B C H A 图6 得 即 同理， 故H是△ABC的垂心 与“内心”有关的向量问题 6已知为所在平面上的一点，且，， ．若，则是的( ) ．A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 　 图⑹ 图⑹ 图⑸ 【解析】∵，，则由题意得， ∵， ∴．∵与分别为和方向上的单位向量，∴与平分线共线，即平分． 同理可证：平分，平分．从而是的内心，如图⑸. 7已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足 ，，则动点的轨迹一定通过的( )． A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 【解析】由题意得，∴当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图⑹. 8若O在△ABC所在的平面内：=，则O是△ABC的（　　） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 解：∵向量的模等于1，因而向量是单位向量 ∴向量、和等都是单位向量 ∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形， ∵ 可得AO在∠BAC的平分线上 同理可得OB平分∠ABC，OA平分∠ACB， ∴O是△ABC的内心． 故选：C． 与“外心”有关的向量问题 8已知是所在平面上一点，若，则是的( )． A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 图⑺ 图⑺ 图⑻ 【解析】若，则，∴，则是的外心，如图⑺。 9 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的( )。 A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 【解析】由于过的中点，当时，表示垂直于的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图⑻ 四心的相互关系 1.三角形外心与垂心的向量关系及应用 设的外心为，则点为的垂心的充要条件是。 2.三角形外心与重心的向量关系及应用 设的外心为，则点为的重心的充要条件是 3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用 设的外心、重心、垂心分别为、、，则、、三点共线（、、三点连线称为欧拉线），且。 相关题目 10．设△ABC外心为O，重心为G．取点H，使． 求证：（1）H是△ABC的垂心； （2）O，G，H三点共线