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10.3 双因素方差分析
单因素方差分析研究的是总体的均值受一个因素不同水平的影响.但在一些实际问题中,影响总体均值的因素不止一个,这些因素间还可能存在交互作用,这就要考虑两个或多个因素的问题.
为简单起见,仅考虑两个因素的情况.;10.3 双因素方差分析;10.3 双因素方差分析; 无交互作用的双因素方差分析的数学模型可以表示为: xijk= ? + ?i + ?j + ?ijk
, 且相互独立. 1≤i≤l, 1≤j≤m, 1≤k≤n
要说明因素A有无显著影响, 就是要检验如下假设:
H0A:?1 = ?2 = … = ?l, H1A:?1, ?2, …, ?l不全相等
要说明因素B有无显著影响, 就是要检验如下假设:
H0B:?1 = ?2 = … = ?m, H1B:?1, ?2, …, ?m不全相等;与单因素方差分析类似,引进以下统计量:
总平均值:
组内平均值:;
因素A平方和:
因素B平方和:
交互作用平方和:;
误差平方和:
总离差平方和:
可以证明 SST = SSMA + SSMB+ SSMA*B + SSE;构造检验统计量
可以证明:在H0A成立时,检验统计量:
在H0B成立时,检验统计量:;
对于给定的显著性水平?,H0A的拒绝域为:
H0B的拒绝域为:;另外,若FA,FB统计量的观测值分别为FA0,FB0
则
当值P = P{FA ? FA0} < ?时拒绝H0A,否则不能拒绝H0A
当值P = P{FB ? FB0} < ?时拒绝H0B, 否则不能拒绝H0B;无交互作用的双因素方差分析表见表10-5.
其中MSA = SSMA/(l – 1),MSB = SSMB/(m – 1),
MSE = SSE/(lmn – l – m + l).
利用方差分析表中的信息,就可以对每个因素各水平间的差异是否显著做出判断.;【例10.3】为了提高一种橡胶的定强,考虑三种不同的促进剂(因素A)、四种不同分量的氧化锌(因素B)对定强的影响,对配方的每种组合重复试验两次,总共试验了24次,得到数据如表10.6所示.
试分析不同促进剂和不同份量氧化锌对橡胶的定强是否有显著影响.;要分析不同促进剂和不同份量氧化锌对橡胶的定强是否有显著影响,采用无交互作用的双因素方差分析,即要检验:
H0A:不同促进剂对定强无影响,
H1A:不同促进剂对定强有显著影响;
H0B:氧化锌的不同分量对定强无影响,
H1B:氧化剂的不同分量对定强有显著影响.
具体计算可以在Excel中进行(参见实验10-3).;【实验10.3】在Excel中对例10.3作方差分析.
由于Excel的数据分析工具中没有“无交互作用的双因素方差分析”, 故采用公式计算法.分析步骤如下:
(1) 将例10.2中数据输入Excel中,如图10.7所示.; ( 2) 计算 ,在单元格C10中输入公式:
=AVERAGE(C4:C9)
并将单元格C10中公式复制到单元格区域D10:F10.
计算 ,在单元格G4中输入公式:
=AVERAGE(C4:F5)
并将单元格G4中公式复制到单元格G6、G8中.
如图所示.; (3) 计算方差分析表:
输入自由度DF:
在单元格D14中输入2,D15中输入3,
D16中输入18,D17中输入23.
计算平方和SSMA,在单元格E14中输入公式:
=VARP(G4:G8)*24
计算平方和SSMB,在单元格E15中输入公式:
=VARP(C10:F10)*24; 计算平方和SST,在单元格E17中输入公式:
=VARP(C4:F9)*24
计算平方和SSE,在单元格E16中输入公式:
=E17-E14-E15
计算平均平方和MSA,在单元格F14中输入公式:
=E14/D14;计算平均平方和MSB,在单元格F15中输入公式:
=E15/D15
计算平均平方和MSE,在单元格F16中输入公式:
=E16/D16
计算F统计量FA,在单元格G14中输入公式:
=F14/F16;计算F统计量FB,在单元格G15中输入公式:
=F15/F16
计算FA的P值,在单元格H14中输入公式:
=FDIST(G14,D14,D16)
计算FB的P值,在单元格H15中输入公式:
=FDIST(G15,D15,D16)
如图10.9所示.;(4) 结果分析:从方差分析表中可以看出:
因素A (即促进剂因素): P = 0.0000114
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