3.4复数的三角表示 教案 高中数学新湘教版必修第二册（2022学年）.docx

复数的三角表示 【教学目标】 1．了解的几何意义，了解的几何意义就是将复数对应的平面向量旋转90°；了解复数的三角表示，能够把复数的代数形式化为三角形式；了解复数的三角形式的乘法运算和除法运算，了解复数的三角形式的乘法运算和除法运算的几何意义． 2．通过对的几何意义的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过复数的三角表示、复数乘法和除法运算的三角表示及其几何意义的探究，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力、提高学生的推理论证能力． 3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 【教学重点】 复数的三角表示；复数的三角形式的乘法运算和除法运算． 【教学难点】 的几何意义；复数的三角形式的乘法运算和除法运算的几何意义． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【核心素养】 数学抽象，逻辑推理，数学运算． 【教学过程】 第1课时 一、创设情境，引入课题 课前布置任务： 如图，设平面向量，对应复数，则，对应复数.由于，因此可由绕起点逆时针旋转180°得到． 由可知，从旋转的角度，你认为乘复数的几何意义是什么？ 预案：由可知，乘复数的几何意义是将复数对应的向量绕起点逆时针旋转180°变成． 〖设计意图〗通过问题的引入，激发学生学习的兴趣，为的几何意义做铺垫． 二、实例探索，归纳规律 1．的几何意义 问题1：由可知，乘复数的几何意义是将复数对应的向量绕起点旋转180°变成．将连乘两个得到就是将向量连续旋转两个180°，也就是旋转360°，仍得到. 乘复数的几何意义是什么？ 预案：乘复数的几何意义是将复数z对应的向量旋转两个180°，也就是360°． 问题2：乘复数的几何意义是将复数z对应的向量旋转360°； 乘复数的几何意义是将复数对应的向量绕起点旋转180°； 猜测：（即的平方根）乘的几何意义是什么？ 预案：（即的平方根）乘的几何意义应该是将复数对应的向量绕起点旋转90°． 问题3：你能证明当复数是实数或纯虚数时，乘的几何意义吗？ 预案：如图, 将正实数对应的向量将依次旋转90°，旋转四次，则依次得到向量，向量，向量，向量．而向量，向量，向量，向量，对应的复数依次是，，,．于是，我们发现向量每旋转90°，其所对应的复数就相应乘． 问题4：若复数，你能证明复数乘的几何意义吗？ 预案：复平面上的点P表示复数，设向量，分别表示，， 由知向量，是矩形OAPB的对角线．将矩形OAPB绕原点O旋转90°，则向量，向量分别变成向量，向量，矩形OAPB变成矩形． 向量，向量所对应的复数应分别由向量，向量所对应的复数乘得到，即向量对应的复数为， 对应的复数为．因此，矩形的对角线表示的向量，所对应的复数为 向量旋转90°得到向量，对应的复数为 ，也就是说向量的对应的复数由向量对应的复数乘得到． 由此可得，虚数单位乘任意复数的几何意义是：将复数对应的平面向量旋转90°． 问题5：你能从旋转的角度得到的几何意义吗？ 预案：从旋转的角度我们可以得到的几何意义是：将复数对应的平面向量依次旋转两次90°得到的平面向量对应的复数是．也可以这么理解为：将复数对应的平面向量旋转90°得到的平面向量对应的复数是． 〖设计意图〗让学生经历归纳—猜想——证明的数学问题的发现过程，培养学生合作、交流和表达能力，培养学生抽象概括和逻辑推理的数学素养． 2．旋转任意角 问题6：把复数对应的向量旋转90°得到的向量对应的复数是， 把复数对应的向量旋转180°得到的向量对应的复数是，那么把复数对应的向量旋转任意角得到的向量对应的复数是什么呢？ 预案：如图把复数对应的向量旋转角得到，把旋转90°得到， ,方向上的单位向量分别为，，由平面向量基本定理可知，，设，，，， 由三角函数的定义可知，，，即，， 所以． 所以 对应的复数为可看作是由乘得到． 所以复数对应的向量旋转任意角得到的向量对应的复数是． 问题7：乘的几何意义是什么？ 预案：乘的几何意义是将复数对应的平面向量旋转角． 〖设计意图〗让学生经历提出问题——分析问题——解决问题过程，体验研究数学问题的方法，培养学生合作、交流和表达能力，培养学生抽象概括和逻辑推理的数学素养． 三、学以致用，深化规律 例题1：将平面直角坐标系中任意点绕原点旋转90°得到，求的 坐标． 预案：因为点对应的复数为，所以将点绕原点旋转90°得到对应的复数为，因此点的坐标． 〖设计意图〗通过实例，让学生体验虚数单位乘任意复数的几何意义的应用．培养学生合作、交流和表达能力，培养学生逻辑推理的数学素养． 例题2：根据乘的几何意义计算： （1）；（2）． 预案：（1），因为用乘任意复数，其几何意义