1.5.2数量积的坐标表示及其计算 教案 高中数学新湘教版必修第二册（2022学年）.docx

数量积的坐标表示及其计算 【教学目标】 1．知识与技能 ???① 理解掌握平面向量数量积的坐标表达式及相关运算. ???② 理解掌握向量的模、夹角等公式，能根据公式解决夹角、垂直等问题. 2．过程与方法 ???① 培养学生转化能力，以及利用代数方法研究几何问题的思想方法. ???② 体会数形结合的思想方法. 3．情感与态度 ???经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验向量这一数学工具在几何问题代数化中的重要应用. 【教学重点】 平面向量数量积的坐标表示，向量模长公式及平面上两点间的距离公式、向量垂直、夹角公式及其应用。 【教学难点】 平面向量数量积的坐标表示的综合运用 【教学方法】 引导学生探究新知，学生通过思考计算等方式得出一些重要结论，然后运用得到的结论解决简单的问题。 【教学手段】 PPT 【核心素养】 数学抽象,数学运算 【教学过程】 复习回顾，引入课题 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（0≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（0≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积. 4．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos?； 2? a?b ? a?b = 0 3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|2或 4? cos? = ；5?|a?b| ≤ |a||b| 5．平面向量数量积的运算律 交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(a)?b =(a?b) = a?(b) 分配律：(a + b)?c = a?c + b?c 〖设计意图〗引导学生复习已学过的知识，以便向新知识进行探索 归纳探索，形成概念 平面两向量数量积的坐标表示 问题1：两个向量的数量积是“向量”还是“数量”？运算过程与向量坐标有何关系？ 问题2：已知两个非零向量，，如何用和的坐标表示？ 设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，， 所以 又，，，所以 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 〖设计意图〗激励学生去思考，引导鼓励学生去猜想，引起学生思维上的不确定性观念的产生，促使学生形成求异心理状态。 2. 向量的长度 向量与自身的夹角为0，则，即或. 3.两向量夹角的余弦（） cos? = 〖设计意图〗将学生已知公式，转化为坐标表示 4.垂直的条件 设，，则 掌握证法，适当延展 已知，，求k为何值时 （1） （2） （3） 解：（1）因为,所以，解得 （2）因为，所以，解得 （3）因为，所以，则由向量夹角余弦公式可得 ，解得.由（1）可知，当时，, 即共线，。所以且时， 。 〖设计意图〗发展学生对知识的组织、整合、诠释的能力，善于纳入知识系统，形成知识网络 例2. 如图，已知点为平面直角坐标系的原点，点的坐标为,点的坐标为 ,作,垂足为点. (1)求； (2)求； (3)将绕点 逆时针旋转到，求点的坐标； (4)求; (5)求. 〖设计意图〗发展学生对知识的组织、整合、诠释的能力，善于纳入知识系统，形成知识网络 四、归纳小结，提高认识 设， 1. 2. cos? = 3.