1.4.1向量分解及坐标表示 教案 高中数学新湘教版必修第二册（2022学年）.doc

向量分解及坐标表示 【教学目标】 理解平面向量基本定理的内容并能简单应用，在探究平面向量基本定理的过程中通过类比直线上的任意向量可以由直线上的单位向量线性表出体会类比思想. 掌握平面向量正交分解及其坐标表示. 【教学重点】 平面向量基本定理． 【教学难点】 平面向量基本定理的探究过程． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【核心素养】 逻辑推理． 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 数学的任务就是把万事万物用数来表示，用运算来研究.在探寻度量平面向量的“尺子”之前，我们先一起思考下直线上的任意向量是如何被该直线上的单位向量度量出来的？ 预案：. 一条直线上的任意一个向量都可以写成该直线上单位向量的实数倍，并且用该实数来表示向量.这就好比单位向量作为“尺子”来度量向量，得到量数,接下来请同学们思考下列问题: 二、类比探索，形成概念 问题1:几个单位向量可以度量出平面中任意一个向量？ 学生预案：利用来表示. 〖设计意图〗通过类比引入新课，激发兴趣，体会类比数学思想． 问题2：如图所示，向量与单位向量存在怎样的数量关系？ 师生活动：在教师的引导下探究出满足此数量关系： 〖设计意图〗 通过自主探究增强学生的自主探究能力. 这说明对于平面内任意一个向量均可以分解为两个不共线的向量的实数倍之和.请同学们思考下列问题： 问题3：分解为的实数倍之和是唯一的吗？ 师生活动：在教师的引导下证明是唯一的，如下： 假设还可以分解.若，那么等于，这说明和共线，而这和已知条件是矛盾的，所以，同理，我们可以得到 〖设计意图〗通过分解式唯一性的证明，体会反证法，落实逻辑推理核心素养. 问题4：以上就是平面向量基本定理的内容，至此你能简述平面向量基本定理吗？ 师生活动：学生补充完整平面向量基本定理的内容，教师借此讲述下列内容：不共线向量称为平面向量中的一组基,用符号来表示，分解式中的系数组成的有序实数组称为向量在这组基下的坐标，并用符号来表示.当垂直时，称为正交基,若不仅相互垂直而且模长均为1，则称为标准正交基，把一个向量分解为两个垂直的向量的组合，叫做把向量正交分解. 〖设计意图〗提高学生的归纳总结能力. 例题解剖，深化概念 例1.如图所示，向量是夹角为的两个单位向量，，且，，求在基下的坐标. 〖设计意图〗巩固学生对平面向量基本定理的理解. 例2.设单位向量夹角为，非零向量的模且，求在单位向量的坐标. 〖设计意图〗从“形”的角度巩固平面向量正交分解及其坐标表示. 例3.设是平面内一组标准正交基，已知，， ，若，求在基底下的坐标. 〖设计意图〗从“数”的角度巩固平面向量正交分解及其坐标表示. 四、归纳小结，提高认识 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结． 1．小结 (1) 内容：平面向量基本定理、平面向量的正交分解及其坐标表示. (2)思想方法：数学类比思想、反证方法． 2．作业:练习题: