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例 1 已知开环系统传递函数
K
G s
( )
s(0.1s +1)(0.2s +1)(s +1)
试求： （1）K 1时系统的幅值裕度和相角裕度；
（2 ）闭环临界稳定时的开环增益；
（3 ）在 （1 ）的 K 值下，如果开环传递函数中增加一个延迟时间为
τ 0.6s 的延迟环节，问系统是否稳定，若使系统稳定，延迟时间应不大于多少？
解：为求系统的幅值裕度和相角裕度，首先要求出系统的相角穿越频率ω 和幅
g
值穿越频率ω ，求ω 和ω 的方法有多种。
c g c
法一：解析法
利用关系式 φ(ω ) −180o ，得：
g
φ(ω ) −90o −arctan 0.1ω −arctan 0.2ω −arctanω −180o
g g g g
α±β
运用三角公式 arctanα±arctan β arctan 并整理，得
1mαβ
0.3ω
g
+ω
1−0.02ω2 g
g o
arctan 90
2
0.3ω
1− g
2
1−0.02ω
g
0.3ω2
则 1− g 0
1−0.02ω2
g
故 ω 1.77
g
2 2 2
K −20 lg G(j ω ) 20 lg ω +20 lg (0.1ω ) +1 +20 lg (0.2ω ) +1 +20 lg ω +1 ≈10dB
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