控制算法鲁棒控制理论.pptx

鲁棒控制理论;第一篇 控制理论;1.2.1 不确定性与鲁棒性;用集合P代表对象模型，可分为结构化和非结构化两种形式。 结构化集合是由于不定参数的变化引起的，如 非结构化不确定性是由未建模动态引起。 这种由于建模中简化的误差和被控对象本身的不确定性造成的实际被控对象与所建模型之间的差异称为系统的摄动量;1.2.2 鲁棒稳定性(RS); 反馈系统框图;定理 ：（乘积不确定模型）控制器K能保证鲁棒稳定性的充要条件是： 转化一下得： ;摄动系统框图，设;1.2.3 鲁棒性能(RP);例如跟踪控制中,若希望跟踪误差e的幅值小于给定的 ,则性能指标为: 若P取摄动为 ,那么S的摄动为: ;显然RP的条件为: 且 ;1.3.2 控制系统的摄动形式; 1. 附加摄动; 2. 相乘摄动;第2章 优化问题理论;控制系统的 优化实质上是极小化某些 闭环频率响应函数的峰值。考虑下图所示 反馈系统:;由v到z的闭环传递函数,即反馈系统的灵敏度函数为: 灵敏度函数表征了控制系统输出对干扰的灵敏度,理想情况下为0。 ;考虑的问题是寻找一补偿器C,使得闭环系统稳定且极小化灵敏度函数的峰值,这个峰值定义为 由于在无限频率范围内,某些函数的峰值可能不存在,所以用上确界或最小上界来取代最大值,则 ;这一问题的合理性在于:极小化S的峰值相当于极小化最坏干扰对输出的影响。 假设干扰v具有未知频率成分,但是有有限能量 , 我们定义干扰的2范数 v的能量是它2范数的平方。则下图的系统范数 定义为;上式是2范数的诱导范数,根据Parseval定理,不难得到 即峰值 正是系统范数 ,因此 优 化就是系统范数的极小化问题。 考虑到实际对象和补偿器的频率响应函数在高 频处都要衰减,所以灵敏度函数S在低频处可能很小, 在高频处趋于1,它在低频处的情况就可能不会反映 在峰值中,然而低频处往往对系统性能来说是最重要 的。所以引入频率加权函数W,并考虑如下极小化问 题 ,其中W在低频处很 大,在高频衰减下来。 ;考虑SISO反馈系统的回??增益L=PC的Nyquist图,L是标称值,L’是实际值;实际闭环系统稳定的充分条件是L’的Nyquist图不包围-1点。由图可以看出,也就是对于所有频率有: 上式等价于 又标称系统补灵敏度函数定义为 ;所以上面的稳定条件等价于 假设相对摄动满足下面不等式 则稳定条件变为 ;可以证明上式是满足相对摄动条件下闭环系统稳定的充要条件。虽然它是在假设开环系统稳定的前提下获得,但是可以证明,当标称开环系统与受摄动开环系统有相同数目的右半平面极点时,鲁棒稳定条件对于开环不稳定系统仍然成立。 采用范数概念,上面的鲁棒稳定条件可以写为;考虑一般的摄动模型L?L’,相对摄动满足 摄动模型可以等价地写为;这种形式的摄动可用下图表示;上图可以简化为;根据小增益定理,闭环系统稳定的充分条件是 实际上上式是一个充要条件 ;稳定条件 不仅适用于SISO系统,也适用于MIMO系统。现在讨论MIMO系统如何定义无穷范数的问题。考虑如下图所示稳定的MIMO系统 系统范数是下列范数的诱导范数 ;根据Parseval定理,这些信号范数诱导出来的系统范数为 其中对于常熟复矩阵A, 表示谱范数:;下面研究一种特殊的摄动形式——分子-分母摄动,它依赖于对象传递函数P的分式表示 ,若P为有理的,则N和D分别 为分子,分母多项式。分子-分母摄动模型将摄动表示为;;加入补偿器后的闭环系统可以表示成:;其中 由图可得传递函数H为 ;1×2矩阵 和2×1矩阵 的奇异值均为: 所以摄动和系统的无穷范数的平方分别为: ;当摄动满足如下条件: 闭环系统鲁棒稳定的充要条件是灵敏度函数 和输入灵敏度函数 满足不等式: ; 可见 为别为对象P的分母和分子的相对摄动大小的度量。则上面的鲁棒稳定准则表明在分母相对摄动较大的频段,标称灵敏度函数 应该比较小,而在分子相对摄动较大的频段,标称补灵敏度函数 应该较小。;上面的分析意味着低频摄动最好作为分母摄动来处理。低频摄动通常是由参数不确定性引起,