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第二学期高等数学期末考试试卷答案 第二学期高等数学期末考试试卷答案 第 第 PAGE #页共9页 第二学期高等数学期末考両式卷音案 第二学期高等数学期末考両式卷音案 第 第2页共9页 清华大学高等数学期末考试试卷答案 填空題(本題满分30分，共有10道小顕，每道小题3分)，话育合运的答案填 在空中- 设向量应的终点坐标为瓦2, -1, 7),它在x轴、y轴、z轴上的投影依 次为4、-4和7,则该向量的起点《的坐标为 ■ 设a、S、己都是里位向量，且满足十扌=0,贝苗啬+幻= 设 z = sin (xy) + cos2 (y),则== . ^y 设2=**，贝ij^= - cxdy9 某工厂的生产函数是Q = /0,K),已知⑴.当厶= 64.K=20时， 0 = 25OO(h (2)当Z = 64,K = 20时，劳力的边际生产率和投资的边际生产率 为/； = 270 , * = 350。如果工厂计划扩大投入到A = 69,K = 24,则产量的 近似増量为 1 J〕； TOC \o "1-5" \h \z 交换积分］鶴，有j诳f/(x, >■>&= . 7 一设級数2 '收敛，且ix=”,贝蛾数s(、+%)= . Z />1 n-1 8. P-扱数己二在P满足 条件下收敛. ?-1吋 9-微分方程史=x+siii X的通解为 - 10.对于微分方程y+3}，' + 2> = / ,利用待定系数法求其特解)，?时，应设其特 解)，?= 〈只需列出特解形式，不必具体求出系数〉. 答案' 1- 4-2. 3. 0), 2'_|J xcos(x>)-2xcos(x>*)sin(x}'), x^l(l+ylnx); 2750 单位： 0 1 1 1 )初 + ］成(/U 加 $ -17 0 1-J1-X2 lu — u^ j P > 1J ^x3 -sinx + Cix+C3) 6 y* = Axe''. (本鞘分8分) 求过点冬(―L 2, 3),且与两平面x+2z=l和y-3z = 2平行的宜统方程? 解= 所求直线，过点已(—L 2, 3),设其方向向量为硏 由于/平行于平面* + 2z = 1和y -3z = 2 ,所以其方向向量s同时垂直于向量 fii = (1. 0, 2}与n3 ={0, L -3}. 第二学期高等数学期末髯试试卷晉案 第二学期高等数学期末髯试试卷晉案 第 第 PAGE #页共9页 因此，方向向量&可取为， 从而所求直线方程为 y _ 2 _ z _ 3 3 =~ 三.（本题滿分8分） 设踏”=￥七.5 其中上是常数，股F具有连续的一阶偏导数’试求 第二学期高等数学期末者讯讯卷答案 第二学期高等数学期末者讯讯卷答案 第[页共 第[页共9页 第二字期高寺数字期末有触卷答案 第二字期高寺数字期末有触卷答案 笔 笔5页共9页 + Z-X' 四.（本既満分8分） 计算二重积分1= [[ e^^'dxdy的值. 解： 作极坐标变换：x = rcos0t y=rsin0f则有 2* 2 1= 婀=例/汕 ，?尸 $4 。 。 五.（本題満分8分） 某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和，台，成本函數为 c（x, }?） =疽+2尸-个?（万元） 若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多 少？ 解， 即求"函数血 对在条件x+f=8下的最小值 构造辅助函数 F(x, >)=7+ 2尸-v + x(x+)，一 8) r/；=2x-y+z = O 解方程组 ，5=-x+4)，+ 2 = 0 F： =x+v-8 = 0 解得 Z = -7(x = 5ty = 3 这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本 最小，最小成本为： c(5, 3) = 52 +2x32 -5x3 = 28 (万) (本藏满分10分) ⑴.将 fM= xarctan.x - In ^1+x2 f (2).指出该幕级数的收敛域j ⑶.喚疙舟/跡. tt 心 T) 解, (1). s^(arctanx) =— =2(-l)，x2"(同＜1),且arctan0 = 0,所以“ 1 + x 2 ￡arctanx ￡ arctanx o 5?。 (-1 dl) In后?'=虬(1+/)=丄乏史匚习 2 ' 2 n 所以, 第二学期話教序期末旁试试卷答案 第二学期話教序期末旁试试卷答案 /(x) = x arc tanx - In Ji + x2 蕊状一捱坪＞ 2n+l 12n+l 2n + 2 1 2n+l 2n + 2 =§ (二 1 厂 jZ 〈幺⑴+1)3 + 2) X2*'的收釣域为[-L 1]. （3）.令＞ = 1,则有 § （项顷 ￡打