江苏2018高三数学一轮复习----三角函数与解三角形.docx

第1讲　弧度制与任意角的三角函数 考试要求　1.任意角的概念，弧度制的概念，弧度与角度的互化，A级要求；2.任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，B级要求． 知 识 梳 理 1．角的概念的推广 (1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角． (2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限． (3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝eq \f(π,180) rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α 续表 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函 数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 诊 断 自 测 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角．(　　) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．(　　) (3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(　　) (4)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则tan α＞α＞sin α.(　　) (5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(　　) 解析　(1)锐角的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))). (2)第一象限角不一定是锐角． (3)顺时针旋转得到的角是负角． (5)终边相同的角不一定相等． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．若角α与角eq \f(8π,5)的终边相同，则在[0,2π]内终边与角eq \f(α,4)终边相同的角是________． 解析　由题意知，α＝2kπ＋eq \f(8π,5)，k∈Z，∴eq \f(α,4)＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(2π,5)，k∈Z，又eq \f(α,4)∈[0,2π]，∴k＝0，α＝eq \f(2π,5)；k＝1，α＝eq \f(9π,10)；k＝2，α＝eq \f(7π,5)；k＝3，α＝eq \f(19π,10). 答案　eq \f(2π,5)，eq \f(9π,10)，eq \f(7π,5)，eq \f(19π,10) 3．(必修4P15习题6改编)若tan α0，sin α0，则α在第________象限． 解析　由tan α0，得α在第一或第三象限，又sin α0，得α在第三或第四象限或终边在y轴的负半轴上，故α在第三象限． 答案　三 4．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝________. 解析　∵角α的终边经过点(－4,3)， ∴x＝－4，y＝3，r＝5. ∴cos α＝eq \f(x,r)＝－eq \f(4,5). 答案　－eq \f(4,5) 5．(必修4P10习题8改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度． 答案　eq \f(π,3) 考点一　角的概念及其集合表示　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】 (1)若角α是第二象限角，则eq \f(α,2)是第________象限角． (2)终边在直线y＝eq \r(3)x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． 解析　(1)∵α是第二象限角， ∴eq \f(π,2)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， ∴eq \f(π,4)＋kπ＜eq \f(α,2)＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z. 当k为偶数时，eq \f(α,2)是第一象限角； 当k为奇数时，eq \f(α,2)是第三象限角． (2)如图， 在坐标系中画出直线y＝eq \r(3)x，可以发现它与x轴的夹角是eq \f(π,3)，在[0,2π)内，终边在直线