常微分方程的应用.ppt

机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六十二页，课件共85页 初始条件为 用分离变量法解上述初值问题得 质量 m 体积 B 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 第三十页，课件共85页 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十一页，课件共85页 解： 由牛顿第二定律，得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设经过 t 小时, 飞机的滑行距离为 x(t) 公里 第三十二页，课件共85页 例13：质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 运动, 在开始时刻 随着时间的增大 , 此力F 均匀地减 直到 t = T 时F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解: 据题意有 t = 0 时 设力F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小, 求质点的运动规律. 初始速度为0, 且 对方程两边积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十三页，课件共85页 利用初始条件 于是 两边再积分得 再利用 故所求质点运动规律为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十四页，课件共85页 例14：设河边点O的正对岸为点A , 河宽OA = h, 一鸭子从点 A 游向点 为平行直线, 且鸭子游动方向始终朝着点O , 如图所示建立坐标系， 设时刻 t 鸭子位于点 P (x, y)， 设鸭子(在静水中)的游速大小为b 求鸭子游动的轨迹方程 . O , 水流速度大小为 a , 两岸 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解： 鸭子游速为： 则由题意 第三十五页，课件共85页 定解条件 由此得微分方程 即 ( 齐次方程 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十六页，课件共85页 代入前方程得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分离变量得 两边积分得 两式相加得 第三十七页，课件共85页 机动 目录 上页 下页 返回 结束 鸭子游过的轨迹方程为 第三十八页，课件共85页 例15： 绳索仅受 重力作用而下垂, 解: 取坐标系如 图. 考察最低点 A 到 ( ? : 密度, s :弧长) 弧段重力大小 按静力平衡条件, 有 故有 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力H M 点受切向张力T 两式相除得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十九页，课件共85页 则得定解问题: 原方程化为 两端积分得 则有 两端积分得 故所求绳索的形状为 悬 链 线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十页，课件共85页 则得定解问题: 原方程化为 两端积分得 则有 两端积分得 故所求绳索的形状为 悬 链 线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十一页，课件共85页 当重力与弹性力抵消时, 物体处于平衡状态, 例16：质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 力作用下作往复运动, 解: 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如 图. 设时刻 t 物体位移为 x(t). (1) 自由振动情况. 弹性恢复力 物体所受的力有: (虎克定律) 成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十二页，课件共85页 据牛顿第二定律得 则得有阻尼自由振动方程: 阻力 (2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受到位移 则得有阻尼强迫振动方程: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方向上的铅直外力（干扰力） 第四十三页，课件共85页 例17： 求物体的运动规律. 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当p ≠ k 时, 齐次通解: 非齐次特解形式: 上例中若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰 力 代入（*）可得: （*） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十四页，课件共85页 当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时, 自由振动 强迫振动 当 p = k 时, 非齐次特解形式: 代入（*）可得: 方程（*）的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此原方程（*）之解为 第四十五页，课件共85页 若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 随着 t 的增大