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异面直线所成角的几种求法
异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来
定义的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后
在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中，平移直线是
求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角
例1：如图，在正方体ABCD-AB CD 中，E、F分别是相邻两侧面BCCB 及CDDC
1 1 1 1 1 1 1 1
的中心。求AE和BF所成的角的大小。
1 1
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线
A D
到某个点上。 1 1
H
作法：连结BE，取BE 中点G及AB 中点H，
1 1 1 1
连结GH，有GH//AE。过F作CD 的平行线RS， C
1 B 1 S
分别交CC 、DD 于点R、S，连结SH，连结GS。 1
1 1
由BH//CD//FS，B H=FS，可得BF//SH。 Q G E F
1 1 1 1 1
在△GHS 中，设正方体边长为a。 A R D
6
GH= a （作直线GQ//BC交BB 于点Q，
4 1 B C
P
连QH，可知△GQH为直角三角形），
6
HS= a （连A S，可知△HA S为直角三角形），
2 1 1
26
GS= a （作直线GP交BC于点P，连PD，可知四边形GPDS为直角梯形）。
4
A D
1 1
1
∴Cos∠GHS= 。
6 C
B 1
1 1
所以直线AE与直线BF所成的角的余弦值为 。
1 1 6 F
E
解法二：（
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